Esboce as seguintes regiões no espaço:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região do espaço definida simultaneamente por duas condições: o paraboloide
e a bola de raio 1 dada por
. Vamos usar conhecimentos de geometria de superfícies quádricas e encontrar onde elas se interceptam para guiar o desenho.
Passo 2
A superfície
é um paraboloide circular que abre para cima, com vértice na origem. A condição
significa que estamos tomando todos os pontos que ficam “por dentro” (ou acima) desse paraboloide.
A outra superfície é a esfera de centro na origem e raio 1, descrita por . A condição
restringe aos pontos dentro (ou sobre) essa esfera.
A outra superfície é a esfera de centro na origem e raio 1, descrita por
Passo 3
Para encontrar a curva de interseção, igualamos
dentro da equação da esfera. Chamando
, temos
Substituindo
Resolvendo essa equação para
, obtemos
Passo 4
Para esboçar a região, desenhe: 1) a esfera de raio 1; 2) o paraboloide que cresce a partir da origem; 3) a curva circular de interseção. A parte desejada é o “volume” que está dentro da esfera e acima do paraboloide, cobrindo todas as alturas
desde
até a superfície esférica.
No esboço, marque também o ponto mais alto da região (no topo da esfera em ) e o vértice do paraboloide em
. Isso ajuda a entender que a região é uma “cúpula” interna da esfera delimitada por um paraboloide.
No esboço, marque também o ponto mais alto da região (no topo da esfera em
Resposta
A região é o sólido contido na bola de raio 1 centrada na origem e delimitado abaixo pelo paraboloide
. A interseção entre esfera e paraboloide é um círculo em
de raio
. Portanto, graficamente, temos o volume dentro da esfera acima desse paraboloide.