Esboce as seguintes regiões no espaço:
(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2 <= z, x^2+y^2+z^2 <= 1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região do espaço definida simultaneamente por duas condições: o paraboloide x^2+y^2<= z e a bola de raio 1 dada por x^2+y^2+z^2<=1. Vamos usar conhecimentos de geometria de superfícies quádricas e encontrar onde elas se interceptam para guiar o desenho.

Passo 2

A superfície x^2+y^2=z é um paraboloide circular que abre para cima, com vértice na origem. A condição x^2+y^2<= z significa que estamos tomando todos os pontos que ficam “por dentro” (ou acima) desse paraboloide.
A outra superfície é a esfera de centro na origem e raio 1, descrita por x^2+y^2+z^2=1. A condição x^2+y^2+z^2<=1 restringe aos pontos dentro (ou sobre) essa esfera.

Passo 3

Para encontrar a curva de interseção, igualamos z=x^2+y^2 dentro da equação da esfera. Chamando r^2=x^2+y^2, temos
r^2 + z^2 = 1 com z=r^2
Substituindo z=r^2 na esfera:
r^2 + (r^2)^2 = 1 implies r^4 + r^2 -1 = 0
Resolvendo essa equação para r^2, obtemos
r^2 = -1+raiz52, que é positivo. Logo a curva de interseção é um círculo horizontal no plano z=-1+raiz52 com raio (r=\sqrt{\tfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}.

Passo 4

Para esboçar a região, desenhe: 1) a esfera de raio 1; 2) o paraboloide que cresce a partir da origem; 3) a curva circular de interseção. A parte desejada é o “volume” que está dentro da esfera e acima do paraboloide, cobrindo todas as alturas z desde z=x^2+y^2 até a superfície esférica.
No esboço, marque também o ponto mais alto da região (no topo da esfera em z=1) e o vértice do paraboloide em 0,0,0. Isso ajuda a entender que a região é uma “cúpula” interna da esfera delimitada por um paraboloide.

Resposta

A região é o sólido contido na bola de raio 1 centrada na origem e delimitado abaixo pelo paraboloide z=x^2+y^2. A interseção entre esfera e paraboloide é um círculo em z=tfrac-1+raiz52 de raio raiztfrac-1+raiz52. Portanto, graficamente, temos o volume dentro da esfera acima desse paraboloide.

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