Seja C o arco da parábola y=-14(x-1)^2 de (1,0) até (-1,-1). O valor da integral integralC -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y é:
Escolha uma opção:
  • -pi4
  • pi4
  • -3 pi4
  • -3 pi2
  • 3 pi4
  • 5 pi4
    pi
  • -pi4
  • pi4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC -yx^2+y^2,dx + xx^2+y^2,dy
na curva C dada pelo arco da parábola
y=-tfrac14(x-1)^2,
de (1,0) até (-1,-1). O tema aqui é reconhecer formas diferenciais em coordenadas polares e usar a relação com o ângulo polar θ.

Passo 2

Reconhecemos que a forma
omega = -y,dx + x,dyx^2+y^2
é exatamente a diferencial do ângulo polar, ou seja,
dtheta = -y,dx + x,dyx^2+y^2

Passo 3

Portanto
integralC omega = integralC dtheta = De

Passo 4

Agora determinamos os ângulos: em (1,0) temos
thetarm in = 0;
em (-1,-1) o ponto está no terceiro quadrante e o ângulo contínuo partindo de 0 e girando no sentido negativo atinge
thetarm fin = -tfrac3pi4

Passo 5

Logo
integralC dtheta = -tfrac3pi4 - 0 = -tfrac3pi4

Resposta

-tfrac3pi4

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