Calcule integralC (x, y)x^2+y^2 cdot n d s e integralC (y,-x)x^2+y^2 cdot n d s (onde n é a normal unitária externa) para a curva do exercício anterior. (Aplicar o Teorema da divergência no plano a uma região que não contenha a origem!!!).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integralC(x,y)x^2+y^2cdotvec n,ds e integralC(y,-x)x^2+y^2cdotvec n,ds
através de uma curva fechada C que é fronteira de uma região R que não contém a origem. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência no plano (também chamado Teorema de Green para fluxo).

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que, se vec F=(P,Q) é C^1 em uma região R simples e sem buracos, então
integralCvec Fcdotvec n,ds =integral duplaRl(partialxP+partialyQr),dA
Aqui R evita a singularidade em (0,0), logo podemos aplicar direto.

Passo 3

Para vec F1(x,y)=l(P1,Q1r)=l(xx^2+y^2,,yx^2+y^2r) temos, com r^2=x^2+y^2,
divvec F1 =partialpartial x!l(xr^2r) +partialpartial y!l(yr^2r) =r^2-2x^2r^4+r^2-2y^2r^4 =2r^2-2r^2r^4=0
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
integralC(x,y)x^2+y^2cdotvec n,ds =integral duplaR0,dA=0

Passo 4

Para vec F2(x,y)=l(P2,Q2r)=l(yx^2+y^2,,-xx^2+y^2r) calculamos
divvec F2 =partialpartial x!l(yr^2r) +partialpartial y!l(-xr^2r) =-2xyr^4+2xyr^4=0
Logo também
integralC(y,-x)x^2+y^2cdotvec n,ds =integral duplaR0,dA=0

Resposta

integralC(x,y)x^2+y^2cdotvec n,ds = 0, integralC(y,-x)x^2+y^2cdotvec n,ds = 0

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