A função
descreve a velocidade do vento durante a passagem de um furacão numa determinada região e Victor está em um veículo no ponto
tentando fugir.
(a) Esboce as curvas de nível da função
para
e
.
(b) Baseado no item anterior, quais são as coordenadas do olho do furacão (o ponto em que a velocidade do vento é máxima)?
(c) Qual é o valor da taxa de variação de
se Victor sair de
na direção do vetor
? A partir dessa taxa, podemos concluir que Victor estaria no caminho certo?
(d) Ajude Victor a fugir rapidamente, determinando a direção em que a taxa de variação de
seja mínima.
(a) Esboce as curvas de nível da função
(b) Baseado no item anterior, quais são as coordenadas do olho do furacão (o ponto em que a velocidade do vento é máxima)?
(c) Qual é o valor da taxa de variação de
(d) Ajude Victor a fugir rapidamente, determinando a direção em que a taxa de variação de
Passo 1
O enunciado define
como a velocidade do vento, pede (a) as curvas de nível para
, (b) o ponto de máximo de
, (c) a derivada direcional em
na direção
e interpretação, e (d) a direção em que a taxa de variação de
seja mínima. Para isso vamos usar geometria de círculos (níveis de funções quadráticas) e cálculo vetorial (gradiente e derivada direcional).
Passo 2
Para as curvas de nível definimos
Logo, são círculos de centro
e raio
Para
,
; para
,
; para
,
.
Passo 3
A velocidade
é máxima onde
é mínima, ou seja, no centro dos círculos. Logo o olho do furacão está em
Passo 4
O gradiente de
é
Em
temos
A derivada direcional em
é
Como é positiva, Victor vai em direção a regiões de vento mais forte, ou seja, não está fugindo.
Passo 5
A direção de variação mínima é a de
. Em
temos
com norma
. O versor correspondente é
Resposta
(a) As curvas de nível são círculos de centro
e raio
: para
, para
, para
.
(b) .
(c) ; ele caminha para ventos mais fortes.
(d) Direção de mínima variação: .
(b)
(c)
(d) Direção de mínima variação: