A função v(x, y)=9-x^2-(y-1)^2 descreve a velocidade do vento durante a passagem de um furacão numa determinada região e Victor está em um veículo no ponto P=(1,3) tentando fugir.
(a) Esboce as curvas de nível da função v para k=0, k=5 e k=8.
(b) Baseado no item anterior, quais são as coordenadas do olho do furacão (o ponto em que a velocidade do vento é máxima)?
(c) Qual é o valor da taxa de variação de v se Victor sair de P na direção do vetor u=(1raiz5, -2raiz5) ? A partir dessa taxa, podemos concluir que Victor estaria no caminho certo?
(d) Ajude Victor a fugir rapidamente, determinando a direção em que a taxa de variação de v(x, y) seja mínima.

Passo 1

O enunciado define
v(x,y)=9 - x^2 - (y-1)^2
como a velocidade do vento, pede (a) as curvas de nível para k=0,5,8, (b) o ponto de máximo de v, (c) a derivada direcional em P=(1,3) na direção vec u=(tfrac1raiz5,-tfrac2raiz5) e interpretação, e (d) a direção em que a taxa de variação de v seja mínima. Para isso vamos usar geometria de círculos (níveis de funções quadráticas) e cálculo vetorial (gradiente e derivada direcional).

Passo 2

Para as curvas de nível definimos
v(x,y)=kiff 9 - x^2 - (y-1)^2 = k
iff x^2 + (y-1)^2 = 9 - k
Logo, são círculos de centro (0,1) e raio
r=raiz9-k
Para k=0, r=raiz9=3; para k=5, r=raiz4=2; para k=8, r=raiz1=1.

Passo 3

A velocidade v é máxima onde x^2+(y-1)^2 é mínima, ou seja, no centro dos círculos. Logo o olho do furacão está em
(0,1)

Passo 4

O gradiente de v é
nabla v(x,y)=l(-2x,,-2(y-1)r)
Em P=(1,3) temos
nabla v(1,3)=(-2,,-4)
A derivada direcional em vec u é
Dvec uv=nabla v(1,3)cdotvec u =(-2)1raiz5+(-4)l(-tfrac2raiz5r) =-2+8raiz5 =6raiz5>0
Como é positiva, Victor vai em direção a regiões de vento mais forte, ou seja, não está fugindo.

Passo 5

A direção de variação mínima é a de -nabla v. Em P temos -nabla v(1,3)=(2,4) com norma raiz2^2+4^2=raiz20=2raiz5. O versor correspondente é
l(tfrac22raiz5,,tfrac42raiz5r) =l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5r)

Resposta

(a) As curvas de nível são círculos de centro (0,1) e raio r=raiz9-k: para k=0 r=3, para k=5 r=2, para k=8 r=1.
(b) (0,1).
(c) Dvec uv(1,3)=tfrac6raiz5>0; ele caminha para ventos mais fortes.
(d) Direção de mínima variação: l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5r).

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