Fatore os seguintes polinômios, utilizando o Teorema de D’alembert
x^3-2 x^2-16 x+32, sabendo que 2 é uma raiz desse polinômio.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
x^3-2x^2-16x+32
utilizando o Teorema de D’Alembert (ou Teorema do Fator), que afirma que se a é raíz de um polinômio então x-a é um fator. Aqui já sabemos que 2 é raiz, ou seja, x-2 divide o polinômio. Para completar a fatoração, vamos usar divisão sintética para encontrar o quociente.

Passo 2

Pelo Teorema do Fator, como 2 é raíz, x-2 é fator. Fazendo a divisão sintética com raiz 2 nos coeficientes 1,,-2,,-16,,32, temos:
trazemos 1 para baixo; multiplicamos 1 por 2 e somamos a -2 para obter 0; multiplicamos 0 por 2 e somamos a -16 para obter -16; multiplicamos -16 por 2 e somamos a 32 para obter 0. O resto é zero e o quociente tem coeficientes 1,,0,,-16, ou seja,
x^3-2x^2-16x+32 = (x-2),(x^2-16)

Passo 3

Agora fatoramos o quadrático x^2-16 reconhecendo diferença de quadrados. Como
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
com a=x e b=4, segue que
x^2-16 = (x-4)(x+4)

Resposta

(x-2)(x-4)(x+4)

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