4 Calcule
onde
é a curva interseção da esfera
com o plano
, que se encontra no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a curva de interseção da esfera
com o plano
no primeiro octante.
O conteúdo é integral de linha de função escalar, e vamos precisar de uma parametrização de e da fórmula
O conteúdo é integral de linha de função escalar, e vamos precisar de uma parametrização de
Passo 2
A interseção da esfera de raio
4 com o plano
y=x é um círculo de raio
4 centrado na origem, contido nesse plano vertical. No primeiro octante impomos
Como
y=x , basta
x>=0 e
z>=0 . Isso corresponderá a um arco de círculo de ângulo total
pi/2 .
Passo 3
No plano
y=x podemos usar base ortonormal
Uma parametrização do círculo de raio
4 é
com
thetain[0,tfracpi2] garantindo
x,y,z>=0 . Assim
Passo 4
Calculamos
e o integrando fica
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