4 Calcule integralC(x^2+y^2) d s onde C é a curva interseção da esfera x^2+y^2+z^2=16 com o plano y=x, que se encontra no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCl(x^2+y^2r),ds
onde C é a curva de interseção da esfera
x^2+y^2+z^2=16
com o plano
y=x
no primeiro octante.
O conteúdo é integral de linha de função escalar, e vamos precisar de uma parametrização de C e da fórmula
integralCf(x,y,z),ds ;=;integrala^bfl(r(t)r),llVert r'(t)rrVert,dt

Passo 2

A interseção da esfera de raio 4 com o plano y=x é um círculo de raio 4 centrado na origem, contido nesse plano vertical. No primeiro octante impomos
x>=0, y>=0, z>=0
Como y=x, basta x>=0 e z>=0. Isso corresponderá a um arco de círculo de ângulo total pi/2.

Passo 3

No plano y=x podemos usar base ortonormal
u=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0r), v=(0,0,1)
Uma parametrização do círculo de raio 4 é
r(theta)=4costheta,u+4sintheta,v,
com thetain[0,tfracpi2] garantindo x,y,z>=0. Assim
x(theta)=2raiz2costheta, y(theta)=2raiz2costheta, z(theta)=4sintheta

Passo 4

Calculamos
r'(theta)=-4sintheta,u+4costheta,v Longrightarrow llVert r'(theta)rrVert =raiz16sin^2theta+16cos^2theta=4,
e o integrando fica
x^2+y^2 =(2raiz2costheta)^2+(2raiz2costheta)^2 =16cos^2theta
Logo
integralC(x^2+y^2),ds =integral0^pi/216cos^2theta;l(4,dthetar) =64integral0^pi/2cos^2theta,dtheta =64cdotpi4 =16pi

Resposta

,16pi

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