(a) Explique porque a função f(x) do item (i) é uma solução da equação diferencial do item (ii):
ll (i) f(x)=sumn=0^infty x^nn! & (ii) y^prime(x)=y(x)
Sugestão: Explique porque essa série define uma função f(x), ou seja, a série converge para cada x real; em seguida, f é derivável? Para quais x ? Como se calcula f^prime(x) ? Finalmente, f^prime(x)=f(x) ?
(b) Derive f(x) / e^x; conclua que f(x)=c e^x; use o valor de f(x) e de e^x em x=0 para calcular c; f(x)=e^x; note que a função nula é também uma solução da equação diferencial de (ii), mas não satisfaz f(0)=1. [Tente

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)= sumn=0^infty x^nn!
é solução da equação diferencial y'(x)=y(x). Para isso vamos usar teoria de séries de potências: testa-se convergência, distingue-se derivabilidade termo a termo e finalmente mostra-se que a derivada bate com a própria série. Depois, na parte (b), vamos considerar o quociente f(x)/e^x e ver que é constante.

Passo 2

Para mostrar que a série define uma função para todo xinR, aplicamos o teste da razão. Seja
$$a_n=\frac{x^n}{n!}.
an=x^nn! ã
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|{n+1}/(n+1)!}{|x|n/n!} = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1} = 0 <1.
$$
Logo, a série converge absolutamente para todo L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty|x|^n+1/(n+1)!|x|^n/n! = limntoinfty|x|n+1 = 0 <1 , definindo uma função convergente em x.

Passo 3

Como a convergência é absoluta e uniforme em intervalos compactos, podemos derivar a série termo a termo e obter
f'(x)=sumn=1^infty n,x^n-1n!
Isso mostra que f é diferenciável em todo R.

Passo 4

Reindexando a soma em f'(x): faça k=n-1, então
f'(x)=sumk=0^infty x^kk!=f(x)
Assim vemos direto que f'(x)=f(x), ou seja, f satisfaz a equação diferencial dada.

Passo 5

Para a parte (b), considere o quociente g(x)=f(x)e^-x. Aplicando a regra do produto,

Passo 6

g'(x)=f'(x)e^-x - f(x)e^-x = l(f(x)-f(x)r)e^-x = 0
Logo, g(x) é constante, digamos g(x)=c para todo x.

Passo 7

Basta calcular c=g(0)=f(0)e^0. Da definição de f temos f(0)=sumn=0^infty0^n/n!=1, e e^0=1. Logo c=1. Assim
f(x)=c,e^x = e^x
Observação: a solução trivial f(x)=0 também satisfaz y'=y, mas não satisfaz a condição f(0)=1 do enunciado.

Passo 8

O resultado final é que
f(x)=e^x é a única solução que satisfaz f(0)=1.

Resposta

f(x)=e^x

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