(a) Explique porque a função
do item
é uma solução da equação diferencial do item (ii):
Sugestão: Explique porque essa série define uma função
, ou seja, a série converge para cada
real; em seguida,
é derivável? Para quais
? Como se calcula
? Finalmente,
?
(b) Derive
; conclua que
; use o valor de
e de
em
para calcular
;
; note que a função nula é também uma solução da equação diferencial de (ii), mas não satisfaz
. [Tente
(b) Derive
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é solução da equação diferencial
. Para isso vamos usar teoria de séries de potências: testa-se convergência, distingue-se derivabilidade termo a termo e finalmente mostra-se que a derivada bate com a própria série. Depois, na parte (b), vamos considerar o quociente
e ver que é constante.
Passo 2
Para mostrar que a série define uma função para todo
, aplicamos o teste da razão. Seja
$$a_n=\frac{x^n}{n!}.
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|{n+1}/(n+1)!}{|x|n/n!} = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1} = 0 <1.
$$
Logo, a série converge absolutamente para todo , definindo uma função convergente em
.
Logo, a série converge absolutamente para todo
Passo 3
Como a convergência é absoluta e uniforme em intervalos compactos, podemos derivar a série termo a termo e obter
Isso mostra que
é diferenciável em todo
.
Passo 4
Reindexando a soma em
: faça
, então
Assim vemos direto que
, ou seja,
satisfaz a equação diferencial dada.
Passo 5
Para a parte (b), considere o quociente
. Aplicando a regra do produto,
Passo 6
Logo,
é constante, digamos
para todo
.
Passo 7
Basta calcular
. Da definição de
temos
, e
. Logo
. Assim
Observação: a solução trivial
também satisfaz
, mas não satisfaz a condição
do enunciado.
Passo 8
O resultado final é que