Calcule
, em que
e
é uma curva contida no primeiro quadrante e suave que liga os pontos
e
.
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo: A gente quer calcular a integral de linha
, onde
e
é qualquer curva suave no primeiro quadrante que liga
a
. O assunto é campo conservativo e teorema fundamental para integrais de linha.
Passo 2
Determinar a potencial: Para ver se
é conservativo, procuramos uma função
com
que, integrando em relação a
, dá
Agora impomos
o que mostra que
. Logo,
e podemos ignorar a constante.
Passo 3
Verificar independência de caminho: O domínio considerado é o primeiro quadrante
, que é simplesmente conexo e não contém a singularidade em
. Por isso
é realmente conservativo nesse domínio, e a integral de linha independe do caminho.
Passo 4
Aplicar o teorema fundamental: Como
é gradiente, temos
Calculando:
Portanto a integral é