Calcule integralC F cdot d gamma, em que F(x, y)=(2 xx^2+y^2, 2 yx^2+y^2) e C é uma curva contida no primeiro quadrante e suave que liga os pontos (1,1) e (2,3).

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo: A gente quer calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dgamma, onde vec F(x,y)=l(2xx^2+y^2,2yx^2+y^2r) e C é qualquer curva suave no primeiro quadrante que liga (1,1) a (2,3). O assunto é campo conservativo e teorema fundamental para integrais de linha.

Passo 2

Determinar a potencial: Para ver se vec F é conservativo, procuramos uma função Phi(x,y) com
partialPhipartial x=2xx^2+y^2,
que, integrando em relação a x, dá
Phi(x,y)=ln(x^2+y^2)+h(y)
Agora impomos
partialPhipartial y=2yx^2+y^2=h'(y)+2yx^2+y^2-2yx^2+y^2,
o que mostra que h'(y)=0. Logo,
Phi(x,y)=ln(x^2+y^2)+constante,
e podemos ignorar a constante.

Passo 3

Verificar independência de caminho: O domínio considerado é o primeiro quadrante x>0,y>0, que é simplesmente conexo e não contém a singularidade em (0,0). Por isso vec F=nablaPhi é realmente conservativo nesse domínio, e a integral de linha independe do caminho.

Passo 4

Aplicar o teorema fundamental: Como vec F é gradiente, temos
integralCvec Fcdot dgamma=Phil(2,3r)-Phil(1,1r)
Calculando:
Phi(2,3)=ln(2^2+3^2)=ln(13),
Phi(1,1)=ln(1^2+1^2)=ln(2)
Portanto a integral é
ln(13)-ln(2)=ln132

Resposta

ln132

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