Calcule integralC F d gamma, em que F(x, y)=(x^2+y^2, y^2018 e^sen y+2 x y+x) e C é a parte da curva y=1-x^2, com x in[-1,1], de maneira que (1,0) seja seu ponto inicial.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dgamma, onde vec F(x,y)=(x^2+y^2,;y^2018e^sin y+2xy+x) e C é a curva dada por y=1-x^2, xin[-1,1], iniciando em (1,0). O conteúdo principal é o Teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada.

Passo 2

Como C é um arco aberto, vamos fechar o caminho adicionando o segmento C2 no eixo x que vai de (-1,0) a (1,0). Assim formamos o caminho fechado Ccup C2 com orientação positiva (anti-horária).
Aplicamos o Teorema de Green: se P=x^2+y^2 e Q=y^2018e^sin y+2xy+x, então
Qx=2y+1, Py=2y, Qx-Py=1

Passo 3

Logo,
ointCcup C2vec Fcdot dgamma=integral duplaD(Qx-Py)dA=integral duplaD1,dA=área de Dá

Passo 4

A região D é delimitada pela parábola y=1-x^2 e pelo eixo x, para xin[-1,1]. Sua área é
integral-1^1(1-x^2),dx=l[x-tfracx^33r]-1^1=tfrac43

Passo 5

Agora calculamos a integral em C2: no eixo x, y=0, dgamma=(dx,0) e vec F(x,0)=(x^2,x), logo
integralC2vec Fcdot dgamma=integral-1^1x^2,dx=tfrac23

Passo 6

Como
ointCcup C2vec Fcdot dgamma=integralCvec Fcdot dgamma+integralC2vec Fcdot dgamma, temos
integralCvec Fcdot dgamma=tfrac43-tfrac23=tfrac23

Resposta

tfrac23

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