Seja F(x, y)=(e^2 x sen y, k e^2 x cos y), em que k é uma constante.
Utilizando o valor de k obtido no item anterior, calcule integralC F cdot d gamma, em que C é o arco da senoide dada por y=sen 2 x com ponto inicial (0,0) e ponto final (0, pi2).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial vec F(x,y)=(e^2xsin y,,k e^2xcos y) e pede para calcular integralCvec Fcdot dgamma, onde C vai de (0,0) a (0,pi/2) seguindo a curva y=sin2x. O conteúdo é integral de linha em campo conservativo; vamos usar o teorema fundamental para campos gradiente.

Passo 2

Do item anterior sabemos que vec F é conservativo se partial F1/partial y=partial F2/partial x. Calculamos:
partial F1partial y=e^2xcos y, partial F2partial x=k,2e^2xcos y

Passo 3

Igualando as derivadas para obter conservatividade, temos e^2xcos y=2k e^2xcos y, o que dá 2k=1 e assim k=1/2.

Passo 4

Para achar a função potencial phi(x,y) de vec F, integramos F1 em relação a x:
phi(x,y)=integral e^2xsin y,dx=12e^2xsin y+g(y)

Passo 5

Derivando em y e igualando a F2 obtemos:
partialphipartial y=12e^2xcos y+g'(y)=12e^2xcos y,
o que implica g'(y)=0 e, sem perda, g(y)=constante. Então
phi(x,y)=tfrac12e^2xsin y

Passo 6

Pela independência de caminho a integral vale phil(0,pi/2r)-phi(0,0).

Passo 7

Calculando:
phi(0,tfracpi2)=tfrac12e^0sintfracpi2=tfrac12, phi(0,0)=tfrac12e^0sin0=0

Passo 8

Logo a integral é tfrac12-0=tfrac12.

Resposta

dfrac12

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