Seja
, em que
é uma constante.
Utilizando o valor de
obtido no item anterior, calcule
, em que
é o arco da senoide dada por
com ponto inicial
e ponto final
.
Utilizando o valor de
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para calcular
, onde
vai de
a
seguindo a curva
. O conteúdo é integral de linha em campo conservativo; vamos usar o teorema fundamental para campos gradiente.
Passo 2
Do item anterior sabemos que
é conservativo se
. Calculamos:
Passo 3
Igualando as derivadas para obter conservatividade, temos
, o que dá
e assim
.
Passo 4
Para achar a função potencial
de
, integramos
em relação a
:
Passo 5
Derivando em
e igualando a
obtemos:
o que implica
Passo 6
Pela independência de caminho a integral vale
.
Passo 7
Calculando:
Passo 8
Logo a integral é
.