Seja F(x, y)=(1+y e^x y, 2 y+x e^x y). Determine integralC F d gamma, em que C é a hipérbole x^2-y^2=1, com ponto inicial (2, raiz3) e ponto final (1,0).

Passo 1

Enunciado: Temos o campo vetorial vec F(x,y)=(1+y e^xy,;2y+x e^xy) e a curva C:;x^2-y^2=1 que vai de (2,raiz3) até (1,0). O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar verificar se vec F é conservativo para usar função potencial.

Passo 2

Verificação de conservatividade: Escrevendo P(x,y)=1+y e^xy e Q(x,y)=2y + x e^xy, calculamos
partial Ppartial y=e^xy+xy e^xy=e^xy(1+xy),partial Qpartial x=e^xy+xy e^xy=e^xy(1+xy)
Como partial P/partial y=partial Q/partial x no domínio da hipérbole, o campo é conservativo.

Passo 3

Construção da função potencial: Procuramos phi(x,y) tal que
$$\frac{\partial \phi}{\partial x}=1+y e^{xy},\quad\frac{\partial \phi}{\partial y}=2y + x e^{xy}.
$$Integramos a primeira equação em relação a partial phipartial x=1+y e^xy,partial phipartial y=2y + x e^xy :
xonde phi(x,y)=integral(1+y e^xy),dx = x + e^xy + h(y), é função de h(y) a determinar. Diferenciando em relação a y temos
yIgualando ao partial phipartial y=x e^xy + h'(y) obtemos
Q(x,y)Podemos tomar x e^xy + h'(y)=2y + x e^xyimplies h'(y)=2yimplies h(y)=y^2 + C, então
$$\phi(x,y)=x + e^{xy} + y^2.
$$

Passo 4

Cálculo da integral: Como vec F é conservativo,
$$\int_C\vec F\cdot d\gamma = \phi(1,0)-\phi(2,\sqrt3).
$$Avaliação dos pontos:
$$\phi(1,0)=1+e0+02=2,\quad\phi(2,\sqrt3)=2+e{2\sqrt3}+(\sqrt3)2=5+e^{2\sqrt3}.
$$Logo a integral vale
$$2 - (5+e^{2\sqrt3}) = -3 - e^{2\sqrt3}.
$$

Resposta

-3 - e^{2\sqrt3}

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