Seja
. Determine
, em que
é a hipérbole
, com ponto inicial
e ponto final
.
Passo 1
Enunciado: Temos o campo vetorial
e a curva
que vai de
até
. O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar verificar se
é conservativo para usar função potencial.
Passo 2
Verificação de conservatividade: Escrevendo
e
, calculamos
Como
Passo 3
Construção da função potencial: Procuramos
tal que
$$\frac{\partial \phi}{\partial x}=1+y e^{xy},\quad\frac{\partial \phi}{\partial y}=2y + x e^{xy}.
$$Integramos a primeira equação em relação a
:
$$\phi(x,y)=x + e^{xy} + y^2.
$$
Passo 4
Cálculo da integral: Como
é conservativo,
$$\int_C\vec F\cdot d\gamma = \phi(1,0)-\phi(2,\sqrt3).
$$Avaliação dos pontos:
$$\phi(1,0)=1+e0+02=2,\quad\phi(2,\sqrt3)=2+e{2\sqrt3}+(\sqrt3)2=5+e^{2\sqrt3}.
$$Logo a integral vale
$$2 - (5+e^{2\sqrt3}) = -3 - e^{2\sqrt3}.
$$
Resposta
-3 - e^{2\sqrt3}