Calcule integralC F cdot d r=integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma^prime(t) d t, onde F: C subset R^n longrightarrow R^n (função vetorial) e C uma curva, definida pela função sigma:[a, b] longrightarrow R^n.
F(x, y)=(x^2+y^2, x^2-y^2) e C é o círculo centrado na origem, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O problema pede o cálculo da integral de linha
integralCFcdot d r
para o campo vetorial
F(x,y)=l(x^2+y^2,,x^2-y^2r)
ao longo da curva C, que é o círculo de raio 1 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar parametrização e o produto escalar para resolver.

Passo 2

Parametrizamos o círculo unitário por
sigma(t) = (cos t,;sin t), tin[0,2pi]
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sigma'(t)=(-sin t,;cos t)

Passo 3

Substituímos na expressão de F:
Fl(sigma(t)r) =l(cos^2t+sin^2t,;cos^2t-sin^2tr) =(1,;cos2t)

Passo 4

Calculamos o produto escalar
Fl(sigma(t)r)cdotsigma'(t) =1cdot(-sin t)+cos2tcdotcos t =-sin t+cos2tcos t
Desenvolvendo cos2tcos t=2cos^3t-cos t, fica
Fl(sigma(t)r)cdotsigma'(t) =-sin t+2cos^3t-cos t

Passo 5

Integramos de 0 a 2pi:
integral0^2pil(-sin tr),dt =0, integral0^2pi2cos^3t,dt =0, integral0^2pi(-cos t),dt =0
Somando, obtemos
integral0^2piF(sigma(t))cdotsigma'(t),dt = 0

Resposta

integralCFcdot dr = 0

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