Verifique que cada um dos seguintes limites é igual a zero. Sugestão. Mostre que o limite lim substackx x0 y y0|f(x, y)| é zero, mostrando que |f(x, y)| <=|g(x, y)| e que lim substackx x0 y y0|g(x, y)| = 0.
2. lim substackx 0 y 1 x^3 sen 1x+y-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limsubstackxto0 yto1 x^3,sin!l(tfrac1x+y-1r)
e verificar que este limite é zero. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar o fato de que l|sin tr|<=1 junto com o Teorema do Confronto (ou “sanduíche”).

Passo 2

Defina
f(x,y)=x^3,sin!l(tfrac1x+y-1r)
Como para todo real t vale l|sin tr|<=1, obtemos
l|f(x,y)r| =l|x^3r|;l|sin!l(tfrac1x+y-1r)r| <=l|x^3r|
Logo podemos escolher
g(x,y)=|x|^3
e temos a desigualdade
|f(x,y)|<= g(x,y)

Passo 3

Agora vemos o limite de g quando (x,y)to(0,1). Note que g(x,y) depende só de x, e
limsubstackxto0 yto1g(x,y) =limxto0|x|^3 =0

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, se l|f(x,y)r|<= g(x,y) em torno de (0,1) e lim g(x,y)=0, então
limsubstackxto0 yto1f(x,y)=0

Resposta

0

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