Faça o esboço do gráfico das funções abaixo.
f(x)=x^3-x+1x^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^3-x+1x^2
O conteúdo é esboço de curvas: vamos precisar analisar domínio, assíntotas, interceptos, monotonicidade e concavidade para desenhar o gráfico.

Passo 2

Determinamos o domínio e as descontinuidades:
f(x)=x^3-x+1x^2
está definida para xneq0. Logo o domínio é (-infty,0)cup(0,infty), com assíntota vertical em x=0.

Passo 3

Fazendo a divisão dos termos, escrevemos
f(x)=x-1x+1x^2
Para xtopminfty a parte dominante é x, então há uma assíntota oblíqua
y=x,
pois
limxtopminftyl(f(x)-xr) =limxtopminftyl(-tfrac1x+tfrac1x^2r)=0

Passo 4

Comportamento junto à assíntota vertical x=0:
limxto0^pmf(x) =limxto0^pml(x-tfrac1x+tfrac1x^2r)=+infty
porque o termo tfrac1x^2 domina e é sempre positivo.

Passo 5

Intercepto em y não existe (função não definida em x=0). Para intercepto em x resolvemos
x^3-x+1=0
A única raiz real é xapprox-1,325, ou seja, o gráfico corta o eixo x em l(-1,325,0r).

Passo 6

Derivada primeira para estudar monotonicidade:
f'(x) =ddxl(x-x^-1+x^-2r) =1+x^-2-2x^-3 =x^3+x-2x^3
Zeramos o numerador:
x^3+x-2=0Longrightarrow x=1
(não há outras raízes reais). O sinal de f' é
  • em (0,1), pois numerador negativo e denominador >0;
    + em (1,infty), pois numerador >0 e denominador >0;
    + em (-infty,0), pois numerador <0 e denominador <0.
Logo f é crescente em (-infty,0), decrescente em (0,1) e crescente em (1,infty), com mínimo local em x=1.

Passo 7

Valor do mínimo em x=1:
f(1)=1^3-1+11^2=1,
isto é, ponto l(1,1r).

Passo 8

Derivada segunda para concavidade:
f''(x) = -2x^-3 + 6x^-4 = 6 - 2xx^4
Como x^4 > 0, o sinal de f'' vem de 6 - 2x:
- f''(x) > 0 para x < 3 (curva convexa);
- f''(x) < 0 para x > 3 (curva côncava).
Há ponto de inflexão em x = 3 com
f(3) = 27 - 3 + 19 = 259

Passo 9

Resumo para o esboço:
  • Domínio (-infty,0)cup(0,infty).
  • Assíntotas: vertical x=0 e oblíqua y=x.
  • Intercepto em x em l(-1,325,0r).
  • Mínimo local em l(1,1r).
  • Inflexão em l(3,tfrac259r).
  • Ramo x<0: cresce de -infty (em xto-infty) até +infty (em xto0^-), sempre convexo.
  • Ramo x>0: decresce de +infty (em xto0^+) até (1,1), depois cresce; de 0<x<3 é convexo, de x>3 é côncavo, aproximando-se de y=x.

Resposta

Esboce dois ramos separados por x=0:
  • No ramo à esquerda, a curva sobe convexa de -infty a +infty.
  • No ramo à direita, a curva desce de +infty até (1,1), depois sobe, muda de convexa para côncava em (3,25/9) e aproxima-se obliquamente de y=x.
    Marque também o corte em xapprox-1,325 e as assíntotas x=0 e y=x.

Exercícios relacionados