Faça o esboço do gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo é esboço de curvas: vamos precisar analisar domínio, assíntotas, interceptos, monotonicidade e concavidade para desenhar o gráfico.
Passo 2
Determinamos o domínio e as descontinuidades:
está definida para
. Logo o domínio é
, com assíntota vertical em
.
Passo 3
Fazendo a divisão dos termos, escrevemos
Para
a parte dominante é
, então há uma assíntota oblíqua
pois
Passo 4
Comportamento junto à assíntota vertical
:
porque o termo
domina e é sempre positivo.
Passo 5
Intercepto em
não existe (função não definida em
). Para intercepto em
resolvemos
A única raiz real é
, ou seja, o gráfico corta o eixo
em
.
Passo 6
Derivada primeira para estudar monotonicidade:
Zeramos o numerador:
(não há outras raízes reais). O sinal de
é
- em
, pois numerador negativo e denominador ;
em , pois numerador e denominador ;
em , pois numerador e denominador .
Logo
é crescente em
, decrescente em
e crescente em
, com mínimo local em
.
Passo 7
Valor do mínimo em
:
isto é, ponto
.
Passo 8
Derivada segunda para concavidade:
Como
, o sinal de
vem de
:
- para
(curva convexa);
- para
(curva côncava).
Há ponto de inflexão em com
-
-
Há ponto de inflexão em
Passo 9
Resumo para o esboço:
- Domínio
. - Assíntotas: vertical
e oblíqua . - Intercepto em
em . - Mínimo local em
. - Inflexão em
. - Ramo
: cresce de (em ) até (em ), sempre convexo. - Ramo
: decresce de (em ) até , depois cresce; de é convexo, de é côncavo, aproximando-se de .
Resposta
Esboce dois ramos separados por
:
- No ramo à esquerda, a curva sobe convexa de
a . - No ramo à direita, a curva desce de
até , depois sobe, muda de convexa para côncava em e aproxima-se obliquamente de .
Marque também o corte eme as assíntotas e .