Calcule a massa do sólido E=(x, y, z): x^2+y^2+z^2 <= b^2, z >= a>0, com a<b e de<a(x, y, z)=z. Resp. pi4(b^2-a^2)^2.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido
E=(x,y,z):x^2+y^2+z^2<= b^2,;z>= a>0
com densidade de<a(x,y,z)=z.
Pela definição, a massa é
M=integral triplaEz,dV
Para aproveitar a simetria usaremos coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) temos
,x=rcostheta,;y=rsintheta,;dV=r,dz,dr,dtheta
e a condição z<=raizb^2-r^2, z>= a vale só se 0<= r<=raizb^2-a^2.
Logo
M=integral0^2pi!integral0^raizb^2-a^2!integrala^raizb^2-r^2z;r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos em z:
integrala^raizb^2-r^2z,dz =12l[l(raizb^2-r^2r)^2-a^2r] =12l(b^2-r^2-a^2r)
Assim
M=integral0^2pi!integral0^raizb^2-a^2 12l(b^2-a^2-r^2r),r,dr,dtheta

Passo 4

Extraímos tfrac12 e calculamos o integral em r. Seja R=raizb^2-a^2.
integral0^Rrl(b^2-a^2-r^2r),dr =(b^2-a^2)integral0^Rr,dr-integral0^Rr^3,dr =12(b^2-a^2)R^2-14R^4 =14(b^2-a^2)^2
Logo
M=12integral0^2pi14(b^2-a^2)^2,dtheta =18(b^2-a^2)^2integral0^2pidtheta

Passo 5

Integrando em theta de 0 a 2pi obtemos
M=18(b^2-a^2)^2cdot 2pi =pi4(b^2-a^2)^2

Resposta

pi4(b^2-a^2)^2

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