Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C.
l F(x, y)=(x^2+y^2)^-3 / 2(x i+y j) C: r(t)=e^t sen t i+e^t cos t j (0 <= t <= 1)

Passo 1

Temos que calcular a integral de linha integralC Fcdot dr para o campo vetorial F(x,y)= (x^2+y^2)^-3/2(x,i+y,j) e a curva parametrizada por r(t)= e^tsin t,i + e^tcos t,j com 0<= t<=1. O conteúdo aqui é integral de linha de campos vetoriais e vamos usar a ideia de campo conservativo.

Passo 2

Primeiro, a gente tenta identificar se F é conservativo. Note que a função escalar phi(x,y)= 1/raizx^2+y^2 tem gradiente nablaphi = -(x,y)(x^2+y^2)^3/2. Logo
nablaphi(x,y)= -(x^2+y^2)^-3/2(x,i+y,j) = -F(x,y)
Então F = -nablaphi, ou seja, é conservativo em R^2setminus(0,0).

Passo 3

Para campos conservativos vale o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha:
integralC Fcdot dr = phi(r(b)) - phi(r(a)),
se F = nablaphi. Como F = -nablaphi, a gente tem
integralC Fcdot dr = -l[phi(r(1)) - phi(r(0))r]

Passo 4

Agora, basta calcular phi(r(t)). Como r(t) tem módulo |r(t)| = e^t, a gente tem
phi(r(t)) = 1|r(t)| = e^-t
Logo
phi(r(1)) = e^-1, phi(r(0)) = e^0 =1

Passo 5

Aplicando na fórmula,
integralC Fcdot dr = -l(e^-1 -1r) = 1 - e^-1

Resposta

1 - e^-1

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