Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C.
l F(x, y)=x^2 y i+4 j C: r(t)=e^t i+e^-t j (0 <= t <= 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! A gente precisa calcular onde e a curva é dada por com . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva com relação a . Já temos . Isso significa que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de drdt = ddt(e^t i + e^-t j) = e^t i - e^-t j em relação a , que é :

Passo 4

Vamos substituir F(x(t), y(t)) = (x(t)^2 y(t)) i + 4 j = (e^2t cdot e^-t) i + 4 j = e^t i + 4 j e na função :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot drdt = (e^t i + 4 j) cdot (e^t i - e^-t j) = e^2t - 4 e^-t :

Passo 6

A integral de linha agora se transforma em uma integral definida de integral0^1 (e^2t - 4 e^-t) , dt a :

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral e^2t , dt = 12 e^2t + C
integral -4 e^-t , dt = 4 e^-t + C
Então, a integral completa fica:
[12 e^2t + 4 e^-t]0^1

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
(12 e^2 cdot 1 + 4 e^-1) - (12 e^0 + 4 e^0) = (12 e^2 + 4e) - (12 + 4)

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é:
12 e^2 + 4e - 92
Ou, se preferir uma aproximação numérica:
approx 0,667

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