Calcule
ao longo da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! A gente precisa calcular
onde
e a curva
é dada por
com
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
com relação a
. Já temos
. Isso significa que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na função
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
A integral de linha agora se transforma em uma integral definida de
a
:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa fica:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Resposta
Portanto, o valor da integral de linha é:
Ou, se preferir uma aproximação numérica: