Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C.
l F(x, y, z)=z i+x j+y k C: r(t)=sen t i+3 sen t j+sen^2 t k(0 <= t <= pi / 2)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha ao longo da curva . A função vetorial dada é , e a curva é parametrizada por para .
Vamos usar o conceito de integração de linha em cálculo vetorial, onde integrarmos o produto escalar do campo vetorial com a derivada da posição . Isso vai nos dar a quantidade que estamos procurando.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de drdt = ddt [sin t i + 3 sin t j + sin^2 t k] = cos t i + 3 cos t j + 2 sin t cos t k em relação a , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização F(r(t)) = z i + x j + y k = sin^2 t i + sin t j + 3 sin t k na função vetorial :

Passo 4

Em seguida, fazemos o produto escalar de F cdot drdt = (sin^2 t)(cos t) + (sin t)(3 cos t) + (3 sin t)(2 sin t cos t) = 7 sin^2 t cos t + 3 sin t cos t com :

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de integral0^pi2 (7 sin^2 t cos t + 3 sin t cos t) , dt até integral0^1 (7 u^2 + 3 u) , du = 7 cdot u^33 + 3 cdot u^22 g|0^1 = 73 + 32 = 236 :
Para simplificar, fazemos uma substituição: seja , então . Quando , , e quando , .
Substituindo:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados