Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C.
l F(x, y)=x^2 i+x y j C: r(t)=2 cos t i+2 sen t j(0 <= t <= pi)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha integralC Fcdot d r para o campo vetorial F(x,y)=x^2, i + xy, j ao longo da curva semicircular C dada por r(t)=2cos t, i + 2sin t, j, com 0<= t<=pi. Vamos usar a definição de integral de linha de campo não conservativo, que é integralC Fcdot d r = integrala^b F( r(t))cdot r'(t),dt.

Passo 2

Como a curva já está parametrizada por r(t)=(2cos t,2sin t), identificamos
r'(t)=(-2sin t), i + (2cos t), j

e calculamos a derivada

Passo 3

Agora substituímos na expressão de F para obtermos Fl( r(t)r):
Fl( r(t)r)= (x(t))^2, i + x(t)y(t), j = 4cos^2 t, i + 4sin tcos t, j

Passo 4

Calculamos o produto escalar
Fl( r(t)r)cdot r'(t) = (4cos^2 t)(-2sin t) + (4sin tcos t)(2cos t) = -8cos^2 tsin t + 8sin tcos^2 t = 0

Passo 5

Como o integrando é identicamente zero, temos
integralC Fcdot d r = integral0^pi 0,dt = 0

Resposta

0

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