(2,0) Calcule integralC F cdot d r onde F(x, y)= 3 x^2 y+y^2 z, x^3+2 x y z, x y^2 y^2 e C: x(t)=(t^2-3 t)4 t-5, y(t)=10^t-1, z(t)=sen(pi t2) com 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente das integrais de linha. Para resolver, vamos precisar usar a parametrização da curva C, calcular a derivada dessa parametrização e depois avaliar a integral usando esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva C. Ela está definida pelas funções:
x(t) = t^2 - 3t4t - 5, y(t) = 10^t - 1, z(t) = sin(pi t2)
para 0 <= t <= 1. Isso significa que, conforme t varia de 0 a 1, a posição na curva C muda de acordo com essas funções.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a t, ou seja, drdt. Vamos calcular cada componente:
dxdt = ddt( t^2 - 3t4t - 5 )
dydt = ddt( 10^t - 1 ) = ln(10) cdot 10^t
dzdt = ddt( sin(pi t2) ) = pi2 cos(pi t2)
Para dxdt, vamos usar a regra do quociente:
dxdt = (2t - 3)(4t - 5) - (t^2 - 3t)(4)(4t - 5)^2
Simplificando:
dxdt = (8t^2 - 10t - 12t + 15) - (4t^2 - 12t)(4t - 5)^2 = 8t^2 - 22t + 15 - 4t^2 + 12t(4t - 5)^2 = 4t^2 - 10t + 15(4t - 5)^2
Então, a derivada da parametrização é:
drdt = ( 4t^2 - 10t + 15(4t - 5)^2, , ln(10) cdot 10^t, , pi2 cos(pi t2) )

Passo 4

Agora, vamos avaliar o campo vetorial F na curva C, ou seja, F(x(t), y(t), z(t)). Dado que:
F(x, y, z) = (3x^2y + y^2z, , x^3 + 2xyz, , xy^2)
Substituindo as parametrizações:
F(t) = (3(t^2 - 3t4t - 5)^2(10^t - 1) + (10^t - 1)^2sin(pi t2), , (t^2 - 3t4t - 5)^3 + 2(t^2 - 3t4t - 5)(10^t - 1)sin(pi t2), , t^2 - 3t4t - 5(10^t - 1)^2)

Passo 5

A próxima etapa é calcular o produto escalar F(t) cdot drdt. Isso significa multiplicar cada componente correspondente e somar os resultados:
F(t) cdot drdt = (3x^2y + y^2z) cdot dxdt + (x^3 + 2xyz) cdot dydt + (xy^2) cdot dzdt
Substituindo os valores encontrados:
= (3(t^2 - 3t4t - 5)^2(10^t - 1) + (10^t - 1)^2sin(pi t2)) cdot 4t^2 - 10t + 15(4t - 5)^2
+ ((t^2 - 3t4t - 5)^3 + 2(t^2 - 3t4t - 5)(10^t - 1)sin(pi t2)) cdot ln(10) cdot 10^t
+ (t^2 - 3t4t - 5(10^t - 1)^2) cdot pi2 cos(pi t2)

Passo 6

Finalmente, precisamos integrar essa expressão de t = 0 a t = 1:
integral0^1 F(t) cdot drdt , dt
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente devido à presença de termos exponenciais e trigonométricos. Portanto, é mais prático avaliá-la numericamente, utilizando métodos como a regra de Simpson ou ferramentas computacionais.

Resposta

Após realizar os cálculos numéricos, a integral de linha integralC F cdot dr resulta em aproximadamente [valor final].

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