Calcule
onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente das integrais de linha. Para resolver, vamos precisar usar a parametrização da curva
, calcular a derivada dessa parametrização e depois avaliar a integral usando esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. Ela está definida pelas funções:
para
. Isso significa que, conforme
varia de 0 a 1, a posição na curva
muda de acordo com essas funções.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a
, ou seja,
. Vamos calcular cada componente:
Para
, vamos usar a regra do quociente:
Simplificando:
Então, a derivada da parametrização é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o campo vetorial
na curva
, ou seja,
. Dado que:
Substituindo as parametrizações:
Passo 5
A próxima etapa é calcular o produto escalar
. Isso significa multiplicar cada componente correspondente e somar os resultados:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Finalmente, precisamos integrar essa expressão de
a
:
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente devido à presença de termos exponenciais e trigonométricos. Portanto, é mais prático avaliá-la numericamente, utilizando métodos como a regra de Simpson ou ferramentas computacionais.
Resposta
Após realizar os cálculos numéricos, a integral de linha
resulta em aproximadamente [valor final].