Determinar as equações da reta tangente à curva no ponto dado.
y^2x-y^3=x^2 y+1 no ponto P=(0,-1);

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva dada implicitamente por y^2x - y^3 = x^2y + 1 no ponto P=(0,-1). O conteúdo aqui é derivação implícita e, a partir da derivada y', montamos a equação da reta tangente.

Passo 2

Para derivar implicitamente y^2x - y^3 = x^2y + 1, vamos usar a regra do quociente em uv com u=y^2 e v=x - y^3. Derivando o lado esquerdo:
ddxl(y^2x - y^3r) = u'v - uv'v^2 = (2y,y')(x - y^3) - y^2(1 - 3y^2y')(x - y^3)^2

Passo 3

No lado direito, derivamos x^2y + 1 usando produto em x^2y:
ddx(x^2y + 1) = 2xy + x^2y'

Passo 4

Agora igualamos as duas derivadas:
(2y,y')(x - y^3) - y^2(1 - 3y^2y')(x - y^3)^2 = 2xy + x^2y'

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por (x - y^3)^2 e recolhendo termos em y', encontraríamos a expressão geral de y'. Mas como só precisamos de y' em (0,-1), avaliamos diretamente: em (0,-1) temos x - y^3=1, 2xy + y^4=1, 2xy=0 e x^2=0. Substituindo na equação simplificada:
y'cdot1 - (-1)^2 = 0 Longrightarrow y' - 1 = 0 Longrightarrow y'=1

Passo 6

Com a inclinação m=1 e o ponto (0,-1), a reta tangente é dada por:
y - (-1) = 1,(x - 0)Longrightarrow y + 1 = x

Resposta

y = x - 1

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