Determinar as equações da reta tangente à curva no ponto dado.
y^2=26 x^4-x^2 no ponto (1,4);

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação da reta tangente à curva
y^2=26x^4-x^2
o ponto dado é (1,4). Este problema envolve derivação implícita para encontrar o coeficiente angular da reta e depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Para aplicar derivação implícita, derivamos os dois lados da equação em relação a x. Do lado esquerdo, a derivada de y^2 é 2y,y'. Do lado direito, a derivada de 26x^4-x^2 é 104x^3-2x. Então temos:
2y,y'=104x^3-2x

Passo 3

Agora isolamos y' dividindo ambos os lados por 2y:
y'=104x^3-2x2y=52x^3-xy

Passo 4

Substituímos o ponto (1,4) em y' para obter o coeficiente angular m:
m=52cdot1^3-14=52-14=514

Passo 5

Com o coeficiente angular m=51/4 e o ponto (1,4), usamos a forma ponto-declive da reta:
y-4=514(x-1)
E, ao simplificar, obtemos a forma explícita da reta.

Resposta

y=514x-354

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