O conteúdo envolve reconhecer que F é conservativo, encontrar um potencial f e usar
integralCFcdot d r =fl(gamma(3pi/4)r)-fl(gamma(0)r)
Passo 2
Verificamos se F é conservativo calculando o rotacional nablatimes F.
partial Rpartial y =partialpartial yl(-xy^2sin zr) =-2xysin z,
partial Qpartial z =partialpartial zl(2xycos zr) =-2xysin z,
logo partial R/partial y=partial Q/partial z. Os outros componentes conferem de forma análoga, dando nablatimes F=0. Portanto F é conservativo em todo o espaço.
Passo 3
Procuramos f(x,y,z) tal que
partial fpartial x=P=y^2cos z
Integrando em x,
f(x,y,z)=xy^2cos z+g(y,z)
Então
partial fpartial y =2xycos z+partial gpartial y stackrel!=Q=2xycos z Longrightarrow partial gpartial y=0
e g depende só de z: g(z)=h(z). Por fim
partial fpartial z =-xy^2sin z+h'(z) stackrel!=R=-xy^2sin z Longrightarrow h'(z)=0,
logo h é constante. Podemos escolher
f(x,y,z)=x,y^2cos z
Passo 4
Avaliamo-s f nos extremos da curva.
Para t=0:
gamma(0)=(0,0,0) Longrightarrow fl(gamma(0)r) =0cdot 0^2 cos 0=0