Calcule integralC F cdot d r, onde F=(y^2 cos z, 2 x y cos z,-x y^2 sin z) e C é a curva gamma(t)=(t^2, sen t, t), t in[0,3 pi / 4].
|gamma^prime(t)| d t

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integralCFcdot d r
para o campo vetorial
F=(P,Q,R)=l(y^2cos z,;2xycos z,;-xy^2sin zr)
e a curva parametrizada por
gamma(t)=l(x(t),y(t),z(t)r)=l(t^2,sin t,tr), tin[0,tfrac3pi4]
O conteúdo envolve reconhecer que F é conservativo, encontrar um potencial f e usar
integralCFcdot d r =fl(gamma(3pi/4)r)-fl(gamma(0)r)

Passo 2

Verificamos se F é conservativo calculando o rotacional nablatimes F.
partial Rpartial y =partialpartial yl(-xy^2sin zr) =-2xysin z,
partial Qpartial z =partialpartial zl(2xycos zr) =-2xysin z,
logo partial R/partial y=partial Q/partial z. Os outros componentes conferem de forma análoga, dando nablatimes F=0. Portanto F é conservativo em todo o espaço.

Passo 3

Procuramos f(x,y,z) tal que
partial fpartial x=P=y^2cos z
Integrando em x,
f(x,y,z)=xy^2cos z+g(y,z)
Então
partial fpartial y =2xycos z+partial gpartial y stackrel!=Q=2xycos z Longrightarrow partial gpartial y=0
e g depende só de z: g(z)=h(z). Por fim
partial fpartial z =-xy^2sin z+h'(z) stackrel!=R=-xy^2sin z Longrightarrow h'(z)=0,
logo h é constante. Podemos escolher
f(x,y,z)=x,y^2cos z

Passo 4

Avaliamo-s f nos extremos da curva.
Para t=0:
gamma(0)=(0,0,0) Longrightarrow fl(gamma(0)r) =0cdot 0^2 cos 0=0
Para t=tfrac3pi4:
gammal(tfrac3pi4r) =l(l(tfrac3pi4r)^2,;sin tfrac3pi4,;tfrac3pi4r) =l(tfrac9pi^216,;tfracraiz22,;tfrac3pi4r)
Então
fl(gamma(tfrac3pi4)r) =9pi^216 cdot l(raiz22r)^2 cos!l(tfrac3pi4r) =9pi^216 cdot 12 cdot l(-raiz22r) =-9raiz2,pi^264

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
integralCFcdot dr =fl(gamma(tfrac3pi4)r)-fl(gamma(0)r) =-9raiz2,pi^264-0 =-9raiz2,pi^264

Resposta

-9raiz2,pi^264

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