A densidade em cada ponto (x, y, z) neq(0,0,0) da bola x^2+y^2+z^2 <= 4, é dada por
f(x, y, z)=1x^2+y^2+z^2
Calcule a massa da região W: m(W)=integral triplaW f d V, onde
W=(x, y, z) / 2 x <= x^2+y^2+z^2 <= 4

Passo 1

O enunciado pede a massa da região
W=(x,y,z)mid 2x<= x^2+y^2+z^2<=4
com densidade
f(x,y,z)=1x^2+y^2+z^2
Este é um problema de coordenadas esféricas, pois a região é dada por condição em r^2=x^2+y^2+z^2 e a densidade depende apenas de r.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
rho, theta, varphi,
com
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi,
0<=rho<=2, 0<=varphi<=pi, 0<=theta<2pi, e o elemento de volume
dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
Como f=1/rho^2, no integrando ficamos com
f,dV=1rho^2,rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta =sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 3

A condição 2x<=rho^2 vira
2,rhosinvarphicostheta<=rho^2,
ou seja, para rho>0,
rho>=2sinvarphicostheta
Logo, para direções em que sinvarphicostheta>0 (isto é costheta>0), o limite inferior de rho é 2sinvarphicostheta; caso contrário o limite inferior é 0. Em todo caso, o limite superior é rho=2.

Passo 4

Escrevemos a massa como soma de duas parcelas, dividindo em theta onde costheta<=0 e costheta>0:
m(W) =integral0^pi!integralcostheta<=0!integral0^2sinvarphi,drho,dtheta,dvarphi +integral0^pi!integralcostheta>0!integral2sinvarphicostheta^2sinvarphi,drho,dtheta,dvarphi

Passo 5

Para costheta<=0 temos rho de 0 a 2, então
integral0^2!drho=2,
e
integralcostheta<=0!dtheta=pi
Logo essa parte vale
integral0^pi!2,sinvarphi,pi,dvarphi =2piintegral0^pisinvarphi,dvarphi =2picdot2 =4pi

Passo 6

Para costheta>0 a integral em rho é
integral2sinvarphicostheta^2!drho =2-2sinvarphicostheta
Também
integralcostheta>0!dtheta=pi, integralcostheta>0!costheta,dtheta=2
Então essa parte vale
integral0^pisinvarphil(2pi-2sinvarphicdot2r)dvarphi =integral0^pil(2pisinvarphi-4sin^2varphir)dvarphi
Como integral0^pisinvarphi,dvarphi=2 e integral0^pisin^2varphi,dvarphi=pi/2, segue
2picdot2-4cdotpi2=4pi-2pi=2pi

Passo 7

Somando as duas parcelas:
m(W)=4pi+2pi=6pi

Resposta

6pi

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