A densidade em cada ponto
da bola
, é dada por
Calcule a massa da região
, onde
Passo 1
O enunciado pede a massa da região
com densidade
Este é um problema de coordenadas esféricas, pois a região é dada por condição em
e a densidade depende apenas de
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
com
Como
, no integrando ficamos com
Passo 3
A condição
vira
ou seja, para
,
Logo, para direções em que
(isto é
), o limite inferior de
é
; caso contrário o limite inferior é
. Em todo caso, o limite superior é
.
Passo 4
Escrevemos a massa como soma de duas parcelas, dividindo em
onde
e
:
Passo 5
Para
temos
de
a
, então
e
Logo essa parte vale
Passo 6
Para
a integral em
é
Também
Então essa parte vale
Como
e
, segue
Passo 7
Somando as duas parcelas: