Use o teorema de Green para calcular
integralgamma(x ln (x^2+y^2)-y) d x+y ln (x^2+y^2) d y
onde gamma é dada em coordenadas polares por r(theta)=3+cos theta, theta in[0,2 pi].
BOA PROVA!

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Green na integral de linha
ointgammal(xln(x^2+y^2)-yr),dx ;+; yln(x^2+y^2),dy
sobre a curva gamma dada por
r(theta)=3+costheta, thetain[0,2pi],
isto é, um laço fechado orientado positivamente. Pelo Teorema de Green, basta calcular
integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde P(x,y)=xln(x^2+y^2)-y e Q(x,y)=yln(x^2+y^2), e D é a região interna a gamma.

Passo 2

Calcular partial Q/partial x e partial P/partial y.
Para
Q(x,y)=yln(x^2+y^2),
temos
partial Qpartial x = ycdot1x^2+y^2cdot 2x = 2xyx^2+y^2
Para
P(x,y)=xln(x^2+y^2)-y,
temos
partial Ppartial y = xcdot1x^2+y^2cdot 2y ;-;1 = 2xyx^2+y^2-1

Passo 3

Fazendo a diferença,
partial Qpartial x-partial Ppartial y = 2xyx^2+y^2 -l(2xyx^2+y^2-1r) =1
Logo o integrando de Green é constante igual a 1.

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
ointgammaP,dx+Q,dy = integral duplaD1,dA =Área(D) Á

Passo 5

Em coordenadas polares, a área de D vale
integral duplaDdA =integral0^2pi!integral0^3+costhetar,dr,dtheta =12integral0^2pi(3+costheta)^2,dtheta
Expandindo e integrando:
(3+costheta)^2=9+6costheta+cos^2theta =9+6costheta+1+cos2theta2,
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12integral0^2pi(9+6costheta+tfrac1+cos2theta2),dtheta =12l(9cdot2pi+0+tfrac12cdot2pi+0r) =19pi2

Resposta

ointgammal(xln(x^2+y^2)-yr),dx + yln(x^2+y^2),dy = 19pi2

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