Explique por que a funçăo é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearizaçăo
da função naquele ponto.
,
(
)
(
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas em relação ao ponto
:
- Justificar que
é diferenciável ali. - Encontrar a linearização
de em .
O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e a construção da aproximação linear (plano tangente).
Passo 2
Para mostrar que
é diferenciável em
basta notar que é o produto de duas funções de classe
:
-
, que é suave em toda reta. -
, que é suave em todo plano.
O produto de funçõesé ainda , logo e, em particular, é diferenciável em qualquer ponto, inclusive em .
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de
:
Avaliando em
temos
Passo 4
A derivada parcial em relação a
é
Em
isso dá
Passo 5
O valor de
no ponto é
A linearização de
em
é dada por
Substituindo os valores: