Explique por que a funçăo é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearizaçăo L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=e^-n cos y,
( pi, 0 )

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^-xcos y
e pede duas coisas em relação ao ponto (pi,0):
  1. Justificar que f é diferenciável ali.
  2. Encontrar a linearização L(x,y) de f em (pi,0).
    O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e a construção da aproximação linear (plano tangente).

Passo 2

Para mostrar que f é diferenciável em (pi,0) basta notar que é o produto de duas funções de classe C^infty:
  • g(x,y)=e^-x, que é suave em toda reta.
  • h(x,y)=cos y, que é suave em todo plano.
    O produto de funções C^infty é ainda C^infty, logo fin C^infty(R^2) e, em particular, é diferenciável em qualquer ponto, inclusive em (pi,0).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) =partialpartial xl(e^-xcos yr) =-e^-xcos y
Avaliando em (pi,0) temos
fx(pi,0) =-e^-picos 0 =-e^-picdot1 =-e^-pi

Passo 4

A derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y(x,y) =partialpartial yl(e^-xcos yr) =-e^-xsin y
Em (pi,0) isso dá
fy(pi,0) =-e^-pisin 0 =0

Passo 5

O valor de f no ponto é
f(pi,0) =e^-picos0 =e^-pi
A linearização de f em (pi,0) é dada por
L(x,y) =f(pi,0) +fx(pi,0),(x-pi) +fy(pi,0),(y-0)
Substituindo os valores:
L(x,y) =e^-pi +(-e^-pi)(x-pi) +0cdot y =e^-pi -e^-pi(x-pi)

Resposta

boxedL(x,y)=e^-pi-e^-pi(x-pi)

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