Calcule integralC F cdot d r onde F(x, y, z)=y z e^x z i+e^x z j+x y e^x z k, e a curva C: x(t)=ln (t^2+1), y(t)=t^3+8 t^2+3 t, z(t)=raizt^2-3 t+2 com 1 <= t <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot d r. Isso significa que vamos integrar o campo vetorial F ao longo de uma curva C. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, parametrização de curvas e integrais. Vamos seguir juntinho passo a passo para não ficar na dúvida!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a curva C pela qual vamos integrar. Ela está parametrizada usando uma variável t que varia de 1 a 2. As equações são:
x(t) = ln(t^2 + 1)
y(t) = t^3 + 8t^2 + 3t
z(t) = raizt^2 - 3t + 2
Essa parametrização nos ajuda a expressar as coordenadas x, y e z em função de t, facilitando os cálculos da integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular dr, que é o diferencial do vetor posição ao longo da curva. Isso significa derivar cada componente em relação a t:
dxdt = ddt ln(t^2 + 1) = 2tt^2 + 1
dydt = ddt (t^3 + 8t^2 + 3t) = 3t^2 + 16t + 3
dzdt = ddt raizt^2 - 3t + 2 = 2t - 32raizt^2 - 3t + 2
Então, o vetor dr fica:
dr = dxdti + dydtj + dzdtk , dt = ( 2tt^2 + 1 )i + (3t^2 + 16t + 3)j + ( 2t - 32raizt^2 - 3t + 2 )k , dt

Passo 4

Temos que substituir as parametrizações na função F:
F(x, y, z) = yz e^x z i + e^x z j + xy e^x z k
Substituindo x(t), y(t) e z(t):
F(t) = ( y(t) cdot z(t) cdot e^x(t) z(t) ) i + ( e^x(t) z(t) ) j + ( x(t) cdot y(t) cdot e^x(t) z(t) ) k
Isso vai nos dar F em termos de t.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = ( yz e^x z ) cdot dxdt + ( e^x z ) cdot dydt + ( xy e^x z ) cdot dzdt
Substituindo tudo em termos de t, teremos uma expressão que depende de t.

Passo 6

Finalmente, vamos integrar essa expressão de t = 1 até t = 2:
integral1^2 F(t) cdot drdt , dt
Isso vai nos dar o valor da integral de linha que estamos procurando.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral de linha integralC F cdot d r é igual a [valor final da integral].

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