Calcule
onde
, e a curva
com
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
. Isso significa que vamos integrar o campo vetorial
ao longo de uma curva
. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, parametrização de curvas e integrais. Vamos seguir juntinho passo a passo para não ficar na dúvida!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a curva
pela qual vamos integrar. Ela está parametrizada usando uma variável
que varia de 1 a 2. As equações são:
Essa parametrização nos ajuda a expressar as coordenadas
,
e
em função de
, facilitando os cálculos da integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é o diferencial do vetor posição ao longo da curva. Isso significa derivar cada componente em relação a
:
Então, o vetor
fica:
Passo 4
Temos que substituir as parametrizações na função
:
Substituindo
,
e
:
Isso vai nos dar
em termos de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Substituindo tudo em termos de
, teremos uma expressão que depende de
.
Passo 6
Finalmente, vamos integrar essa expressão de
até
:
Isso vai nos dar o valor da integral de linha que estamos procurando.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a integral de linha
é igual a [valor final da integral].