O valor da integral integral0^infty xraiz[3](3 x^2+1)^5 d x é:
a 12
b infty
© raiz25
d -1
(e) 14
(f) pi2
g -infty
(h) -2

Passo 1

Resumindo a questão: queremos calcular a integral imprópria
I=integral0^inftyxraiz[3](3x^2+1)^5,dx
Isso envolve teste de convergência e uso de substituição para integrar uma função racional em potências fracionárias.

Passo 2

Antes de integrar de fato, confiro a convergência em xtoinfty: para grandes x, temos
x(3x^2+1)^5/3sim x(3x^2)^5/3=x3^5/3x^10/3=13^5/3x^-7/3,
e como integral^inftyx^-7/3dx converge (exponente >1), nossa integral converge.

Passo 3

Faço a substituição clássica de integral de forma direta: defino
u=3x^2+1, dnu=6x,dxRightarrow x,dx=dnu6
Quando x=0, nu=1; quando xtoinfty, nutoinfty.

Passo 4

Reescrevo a integral em nu:
I=integral1^infty16nu^-5/3dnu=16integral1^inftynu^-5/3dnu
A primitiva de nu^-5/3 é
integralnu^-5/3dnu=nu^-2/3-2/3=-32nu^-2/3

Passo 5

Aplico os limites de 1 a infty:
I=16l[-tfrac32nu^-2/3r]1^infty =-14l[0-1r]=14

Passo 6

Portanto, o valor da integral é tfrac14.

Resposta

14

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