Resolva a integral definida: integral0^1 4 x ln (x^2+1)x^2+1 d x.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral definida integral0^14xln(x^2+1)x^2+1,dx. O conteúdo principal é a substituição u=x^2+1 e o conhecimento da antiderivada de ln(u)u.

Passo 2

Definimos u = x^2+1, de modo que du = 2x,dx. Logo, 4x,dx = 2,du. Os limites de integração mudam conforme x=0to u=1 e x=1to u=2.
Substituindo na integral obtemos
2integral1^2ln(u)u,du

Passo 3

Para calcular integralln(u)u,du, fazemos t=ln(u), então dt=du/u. Assim
integralln(u)u,du = integral t,dt = tfrac12,t^2 + C = tfrac12(ln(u))^2 + C

Passo 4

Voltando à integral definida, temos
2gl[tfrac12(ln(u))^2gr]1^2 = (ln2)^2 - (ln1)^2 = (ln2)^2

Resposta

(ln2)^2

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