Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y)=-y i+x j e C é a curva orientada dada.
C: x^2+y^2=3, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralCFcdot dr, onde o campo vetorial é F(x,y)=(-y,,x) e C é o círculo x^2+y^2=3 orientado no sentido anti-horário. O conteúdo da matéria é integral de linha para campos vetoriais, e vamos precisar usar a parametrização da curva e a definição integralCFcdot dr=integrala^bF(r(t))cdotr'(t),dt.

Passo 2

Para parametrizar o círculo de raio raiz3 no plano, definimos
r(t)=l(raiz3cos t,,raiz3sin tr), 0<= t<=2pi,
cuja derivada é
r'(t)=l(-raiz3sin t,,raiz3cos tr)

Passo 3

Em seguida, substituímos na definição da integral de linha: primeiro calculamos F(r(t)) e o produto escalar com r'(t). Temos
F(r(t))=(-raiz3sin t,,raiz3cos t),
e portanto
F(r(t))cdotr'(t)=(-raiz3sin t)(-raiz3sin t)+(raiz3cos t)(raiz3cos t)=3sin^2t+3cos^2t=3
Isso mostra que o integrando é constante igual a 3, então
integralCFcdot dr=integral0^2pi3,dt

Passo 4

Finalmente, basta calcular a integral simples:
integral0^2pi3,dt=3l[ tr]0^2pi=6pi

Resposta

6\pi

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