a) f(x, y)=x^3 y-2(x+y) ; fy(1,0)

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar a derivada parcial de
f(x,y)=x^3y-2(x+y) em relação a y e depois avaliar em (1,0). O conteúdo aqui é derivada parcial de uma função de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de derivada parcial, que diz que ao derivar em relação a y tratamos x como constante.

Passo 2

Para lembrar a teoria, a derivada parcial de f em relação a y é definida como
partial fpartial y(x,y)=limhto0f(x,y+h)-f(x,y)h
Na prática, basta diferenciar normalmente f(x,y) em relação a y, considerando x como constante.

Passo 3

Primeiro, vamos reescrever f(x,y) separando os termos:
f(x,y)=x^3y-2x-2y
Agora, derivando termo a termo em relação a y:
  • partialpartial y(x^3y)=x^3 porque x^3 é constante em y.
  • partialpartial y(-2x)=0 pois não depende de y.
  • partialpartial y(-2y)=-2.
    Juntando, temos
partial fpartial y(x,y)=x^3-2

Passo 4

Finalmente, é só substituir (x,y)=(1,0):
partial fpartial y(1,0)=1^3-2=1-2=-1

Resposta

-1

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