Calcule
, onde
e
é a curva orientada dada.
, orientada no sentido horário.
Passo 1
Vamos relembrar o que o enunciado pede: calcular a integral de linha
, onde
e
é o círculo
percorrido no sentido horário. O conteúdo envolvido é circulação de campo vetorial em curva fechada, e vamos usar o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro identificamos o campo na forma
com
e
. Pelas condições, a curva
é o contorno de uma região
que é o disco de raio
.
Passo 3
O Teorema de Green diz que para orientação positiva (anti-horária) vale:
Para nosso campo, calculamos
logo o integrando é
Passo 4
Fazendo a integração sobre o disco de raio
:
Passo 5
Como o enunciado pede o sentido horário, a orientação de
é negativa em relação ao padrão de Green. Então é preciso trocar o sinal do resultado:
Resposta
-6\pi