Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y)=-y i+x j e C é a curva orientada dada.
C: x^2+y^2=3, orientada no sentido horário.

Passo 1

Vamos relembrar o que o enunciado pede: calcular a integral de linha integralC Fcdot d r, onde F(x,y)=(-y,x) e C é o círculo x^2+y^2=3 percorrido no sentido horário. O conteúdo envolvido é circulação de campo vetorial em curva fechada, e vamos usar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro identificamos o campo na forma F=(P,Q) com P(x,y)=-y e Q(x,y)=x. Pelas condições, a curva C é o contorno de uma região D que é o disco de raio raiz3.

Passo 3

O Teorema de Green diz que para orientação positiva (anti-horária) vale:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Para nosso campo, calculamos
partial Qpartial x=1, partial Ppartial y=-1,
logo o integrando é
1 - (-1)=2

Passo 4

Fazendo a integração sobre o disco de raio raiz3:
integral duplaD 2,dA = 2cdot área(D) = 2cdot (pi(raiz3)^2) = 2cdot 3pi =6piá

Passo 5

Como o enunciado pede o sentido horário, a orientação de C é negativa em relação ao padrão de Green. Então é preciso trocar o sinal do resultado:
integralC Fcdot d r = -6pi

Resposta

-6\pi

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