Encontre os pontos nos quais
é descontínua. Em quais desses pontos
é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes:
Precisamos usar o conceito de limite e continuidade em pontos de fronteira dos pedaços (x=0 e x=1).
Passo 2
Para achar onde f pode ser descontínua, olhamos só para x=0 e x=1, pois em cada intervalo interno (x<0, 0<x<1 e x>1) as partes são funções contínuas (reta ou exponencial).
Passo 3
No ponto x=0 calculamos:
Limite à esquerda:
Limite à esquerda:
Limite à direita:
Como os limites laterais são diferentes, f é descontínua em x=0. Além disso, f(0)=e^0=1, logo coincide só com o limite à direita, ou seja, é contínua pela direita em x=0.
Passo 4
No ponto x=1 calculamos:
Limite à esquerda:
Limite à esquerda:
Limite à direita:
Como os limites laterais não coincidem, f é descontínua em x=1. Note que f(1)=e^1=e coincide com o limite à esquerda, então f é contínua pela esquerda em x=1.
Passo 5
Para esboçar o gráfico de f, desenhe:
- reta y=x+2 para x<0 com ponto aberto em (0,2).
- curva y=e^x para 0\le x\le1, incluindo (0,1) e (1,e).
- reta y=2-x para x>1 com ponto aberto em (1,1).
Juntando tudo você vê os pulos nos nós x=0 e x=1.
Resposta
f é descontínua em x=0 (contínua pela direita) e em x=1 (contínua pela esquerda).