Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de f. f(x)= x+2 & se x<0 e^x & se 0 <= x <= 1 2-x & se x>1

Passo 1

O enunciado dá a função por partes:
f(x)= x+2 & se x<0, e^x & se 0<= x<=1, 2-x & se x>1
Precisamos usar o conceito de limite e continuidade em pontos de fronteira dos pedaços (x=0 e x=1).

Passo 2

Para achar onde f pode ser descontínua, olhamos só para x=0 e x=1, pois em cada intervalo interno (x<0, 0<x<1 e x>1) as partes são funções contínuas (reta ou exponencial).

Passo 3

No ponto x=0 calculamos:
Limite à esquerda:
limxto0^-f(x)=limxto0^-(x+2)=2
Limite à direita:
limxto0^+f(x)=limxto0^+e^x=1
Como os limites laterais são diferentes, f é descontínua em x=0. Além disso, f(0)=e^0=1, logo coincide só com o limite à direita, ou seja, é contínua pela direita em x=0.

Passo 4

No ponto x=1 calculamos:
Limite à esquerda:
limxto1^-f(x)=limxto1^-e^x=e
Limite à direita:
limxto1^+f(x)=limxto1^+(2-x)=1
Como os limites laterais não coincidem, f é descontínua em x=1. Note que f(1)=e^1=e coincide com o limite à esquerda, então f é contínua pela esquerda em x=1.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de f, desenhe:
  1. reta y=x+2 para x<0 com ponto aberto em (0,2).
  2. curva y=e^x para 0\le x\le1, incluindo (0,1) e (1,e).
  3. reta y=2-x para x>1 com ponto aberto em (1,1).
    Juntando tudo você vê os pulos nos nós x=0 e x=1.

Resposta

f é descontínua em x=0 (contínua pela direita) e em x=1 (contínua pela esquerda).

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