Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y)=-y i+x j e C é a curva orientada dada.
C: r(t)=t i+2 t j, t in[0,1].

Passo 1

A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial, que no nosso caso é integralC Fcdot dr para F(x,y)=(-y,,x) e a curva C é dada por r(t)=(t,2t), tin[0,1]. O que vai rolar é usar a parametrização e a definição de integral de linha:
integralC Fcdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) ,dt

Passo 2

Vamos achar primeiro a derivada da parametrização r(t)=(t,2t). Derivando componente a componente, fica r'(t)=(1,2). Logo dr=r'(t),dt=(1,2),dt.

Passo 3

Agora a gente substitui a curva em F(x,y)=(-y,,x). Como x=t e y=2t, obtemos F(r(t))=(-2t,,t).

Passo 4

Com tudo pronto, calcula o produto escalar F(r(t))cdotr'(t) = (-2t,,t)cdot(1,2) = -2tcdot1 + tcdot2 = -2t + 2t = 0.

Passo 5

Por fim, a integral vira integral0^1 0,dt, que é simplesmente 0.

Resposta

0

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