Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y)=x^2 i-x y j e C é um quarto da circunferência x^2+y^2=4 com y, x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot dr, onde
F(x,y)=x^2,i-xy,j
e C é o quarto de circunferência x^2+y^2=4 com x,y>=0. O assunto é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar parametrizar a curva.

Passo 2

Em teoria, a integral de linha de um campo vetorial F(x,y)=(P,Q) sobre uma curva C é
integralCFcdot dr=integralC P,dx+Q,dy
Para computar usamos uma parametrização (x(t),y(t)) e escrevemos dx=x'(t)dt, dy=y'(t)dt.

Passo 3

Parametrizamos o quarto de circunferência de raio 2 por
x(t)=2cos t, y(t)=2sin t,
com t variando de 0 a pi/2. Assim:
dx=-2sin t,dt,
dy=2cos t,dt

Passo 4

Substituindo na integral temos P(x(t),y(t))=x^2=4cos^2t e Q(x(t),y(t))=-xy=-4cos tsin t. Logo
integralCFcdot dr=integral0^pi/2l(4cos^2tr)(-2sin t)+l(-4cos tsin tr)(2cos t),dt
Simplificando,
integral0^pi/2-16cos^2tsin t,dt

Passo 5

Para calcular
integral0^pi/2-16cos^2tsin t,dt
fazemos a substituição u=cos t, du=-sin t,dt. Os limites vão de u(0)=1 a u(pi/2)=0. A integral vira
integral1^0 16u^2,du=16l[tfracu^33r]1^0=-tfrac163

Resposta

-\tfrac{16}{3}

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