Inverta a ordem de integração.
(e) integral-1^2[integralraiz7+5 y^23^y+73 f(x, y) d x] d y.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral iterada sobre a região D dada por
-1 <= y <= 2, raiz7+5y^23 <= x <= y+73
Vamos usar conceitos de integração dupla, isto é, descrever D tanto em termos de y quanto em termos de x.

Passo 2

Primeiro, caracterizamos D pelas curvas limites:
x = raiz7+5y^23e x=y+73,
além das retas horizontais y=-1 e y=2. Essas curvas se intersectam exatamente em y=-1 e y=2, onde ambas dão x=2 e x=3, respectivamente.

Passo 3

Em seguida, encontramos o intervalo total de x em D, ou seja, os mínimos e máximos de
raiztfrac7+5y^23 e de (y+7)/3 para yin[-1,2]:
miny raiz7+5y^23 = raiz73, maxyy+73 = 3
Logo, x varia em [raiz7/3,,3].

Passo 4

Para cada x fixo em [raiz7/3,3], as desigualdades que definem D são:
  1. raiztfrac7+5y^23 <= x que equivale a
-raiz3x^2-75;<= y;<= raiz3x^2-75,
  1. x <= tfracy+73 que dá
y >= 3x-7,
  1. e ainda -1<= y<= 2, mas veremos que este último fica automaticamente respeitado.

Passo 5

Observando a partir de onde cada restrição é ativa, nota-se que o valor de x=2 é crítico, pois neste ponto se tem
3x-7 = -1 = -raiztfrac3x^2-75. Para
xin[raiz7/3,2] a restrição mais forte para o limite inferior de y é
-raiz(3x^2-7)/5, enquanto que para xin[2,3] a restrição dominante é
y>= 3x-7. O limite superior de y é sempre
+raiz(3x^2-7)/5.

Passo 6

Finalmente, escrevemos a integral invertida como soma em duas partes, correspondendo aos dois subintervalos de x.

Resposta

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