Inverta a ordem de integração.
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral iterada sobre a região D dada por
Vamos usar conceitos de integração dupla, isto é, descrever D tanto em termos de y quanto em termos de x.
Passo 2
Primeiro, caracterizamos D pelas curvas limites:
além das retas horizontais
e
. Essas curvas se intersectam exatamente em
e
, onde ambas dão
e
, respectivamente.
Passo 3
Em seguida, encontramos o intervalo total de
em D, ou seja, os mínimos e máximos de
e de
para
:
Logo,
varia em
.
Passo 4
Para cada
fixo em
, as desigualdades que definem D são:
-
que equivale a
-
que dá
- e ainda
, mas veremos que este último fica automaticamente respeitado.
Passo 5
Observando a partir de onde cada restrição é ativa, nota-se que o valor de
é crítico, pois neste ponto se tem
. Para
a restrição mais forte para o limite inferior de
é
, enquanto que para
a restrição dominante é
. O limite superior de
é sempre
.
Passo 6
Finalmente, escrevemos a integral invertida como soma em duas partes, correspondendo aos dois subintervalos de
.