Exercício 10 (ELJ 58)
Seja f: R^n R de classe C^1 com f(0)=0. Mostre que existem funções contínuas gj: R^n R tais que f(x)=sumj=1^n xj gj(x), forall x. (Sugestão: f(x)=integral0^1 dd t(f(t x)) d t.

Passo 1

O enunciado pede que, dada uma função f:R^ntoR de classe C^1 com f(0)=0, exibamos uma escrita
f(x)=sumj=1^nxj,gj(x)
onde cada gj:R^ntoR seja contínua. O conteúdo principal é o uso da regra da cadeia e da representação integral sugerida:
f(x)=integral0^1ddtl(f(t,x)r),dt

Passo 2

Começamos aplicando a sugestão. Como f é contínua e diferenciável, podemos escrever
f(x) =integral0^1ddtl(f(t,x)r),dt
Isso é válido pois f(0)=0 e, ao integrar a derivada de f(t,x) de t=0 a t=1, recuperamos f(x)-f(0)=f(x).

Passo 3

Agora usamos a regra da cadeia para computar a derivada interna: como tmapsto f(t,x), temos
ddtf(t,x) =nabla f(t,x)cdot x =sumj=1^npartial fpartial xj(t,x);xj

Passo 4

Substituindo essa expressão no integral, obtemos
f(x) =integral0^1sumj=1^npartial fpartial xj(t,x);xj,dt =sumj=1^nxjintegral0^1partial fpartial xj(t,x),dt

Passo 5

Definimos então
gj(x) =integral0^1partial fpartial xj(t,x),dt
Como f é de classe C^1, cada partial f/partial xj é contínua em R^n. A composição (t,x)mapstopartialjf(t,x) é contínua em [0,1]timesR^n, e a integral em t preserva continuidade em x. Logo cada gj é contínua.

Resposta

As funções contínuas que resolvem o problema são
gj(x)=integral0^1partial fpartial xj(t,x),dt, j=1,2,dots,n,
pois com essa escolha vale
f(x)=sumj=1^nxj,gj(x)

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