Exercício 10 (ELJ 58)
Seja
de classe
com
. Mostre que existem funções contínuas
tais que
. (Sugestão:
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede que, dada uma função
de classe
com
, exibamos uma escrita
onde cada
seja contínua. O conteúdo principal é o uso da regra da cadeia e da representação integral sugerida:
Passo 2
Começamos aplicando a sugestão. Como
é contínua e diferenciável, podemos escrever
Isso é válido pois
e, ao integrar a derivada de
de
a
, recuperamos
.
Passo 3
Agora usamos a regra da cadeia para computar a derivada interna: como
, temos
Passo 4
Substituindo essa expressão no integral, obtemos
Passo 5
Definimos então
Como
é de classe
, cada
é contínua em
. A composição
é contínua em
, e a integral em
preserva continuidade em
. Logo cada
é contínua.
Resposta
As funções contínuas que resolvem o problema são
pois com essa escolha vale