5 Calcule
, sendo
a hélice parametrizada por
cost, sent,
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral de linha
ao longo da hélice
O conteúdo principal aqui é identificar parte exata da 1-forma para simplificar o cálculo, e depois parametrizar o que sobra.
Passo 2
Observe que a 1-forma pode ser partida em
De fato
Passo 3
Logo
Pela fórmula fundamental para formas exatas,
Como
gamma(0)=(1,0,0) e
gamma(2pi)=(1,0,2pi) , temos
Portanto a parte exata dá
4pi .
Passo 4
Agora parametrizamos o resto. Em
gamma vale
Assim
Decompomos em três integrais:
Passo 5
Calculamos
I2 facilmente:
Passo 6
Para
I1=-integral0^2pit^3sin t,dt
fazemos integração por partes (três vezes) e achamos
fazemos integração por partes (três vezes) e achamos
logo
Passo 7
O termo
I3=integral0^2pit^2 e^cos t,dt
não tem primitiva elementar simples e fica expresso como está ou em série de funções de Bessel.
não tem primitiva elementar simples e fica expresso como está ou em série de funções de Bessel.
Passo 8
Somando tudo: