5 Calcule integralC(y^2 cos (x)+z^3) d x+(2 y sen(x)-4) d y+(e^x z^2+2) d z, sendo C a hélice parametrizada por gamma(t)=( cost, sent, t), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral de linha
integralCl(y^2cos x + z^3r),dx ;+;l(2ysin x-4r),dy;+;l(e^x z^2+2r),dz
ao longo da hélice
gamma(t)=(cos t,;sin t,;t), tin[0,2pi]
O conteúdo principal aqui é identificar parte exata da 1-forma para simplificar o cálculo, e depois parametrizar o que sobra.

Passo 2

Observe que a 1-forma pode ser partida em
omega = underbracey^2cos x,dx + 2ysin x,dy + 2,dzdl(y^2sin x+2zr) ;+;underbracez^3,dx -4,dy + z^2 e^x,dzomegarm resto
De fato
dl(y^2sin x+2zr) = y^2cos x,dx +2ysin x,dy +2,dz

Passo 3

Logo
integralComega =integralC dl(y^2sin x+2zr) ;+;integralComegarm resto
Pela fórmula fundamental para formas exatas,
integralC dl(y^2sin x+2zr) =l[y^2sin x+2zr]gamma(0)^gamma(2pi)
Como gamma(0)=(1,0,0) e gamma(2pi)=(1,0,2pi), temos
y^2sin x+2zl|gamma(2pi) =0^2sin(1)+2,(2pi)=4pi, y^2sin x+2zl|gamma(0)=0
Portanto a parte exata dá 4pi.

Passo 4

Agora parametrizamos o resto. Em gamma vale
dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt, dz=dt, z=t
Assim
integralComegarm resto =integral0^2pil(t^3(-sin t)-4cos t +t^2 e^cos tr),dt
Decompomos em três integrais:
I1=integral0^2pi-t^3sin t,dt, I2=integral0^2pi-4cos t,dt, I3=integral0^2pit^2 e^cos t,dt

Passo 5

Calculamos I2 facilmente:
I2=-4integral0^2picos t,dt=-4l[sin tr]0^2pi=0

Passo 6

Para
I1=-integral0^2pit^3sin t,dt
fazemos integração por partes (três vezes) e achamos
integral0^2pit^3sin t,dt =-8pi^3+12pi,
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I1=8pi^3-12pi

Passo 7

O termo
I3=integral0^2pit^2 e^cos t,dt
não tem primitiva elementar simples e fica expresso como está ou em série de funções de Bessel.

Passo 8

Somando tudo:
integralComega =4pi +l(I1+I2+I3r) =4pi +l(8pi^3-12pi+0+I3r) =8pi^3-8pi +integral0^2pit^2 e^cos t,dt

Resposta

boxed integralCl(y^2cos x + z^3r),dx;+;l(2ysin x-4r),dy;+;l(e^x z^2+2r),dz =8pi^3-8pi ;+;integral0^2pit^2e^cos t,dt

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