8.5M Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do disco delimitado pela circunferência (x-a)^2+y^2=b^2, 0<b<a.
Utilize essa fórmula nos exercícios 8.5 M a 8.5 P .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y o disco definido por
(x - a)^2 + y^2 = b^2, 0 < b < a
Isso gera um toro (anel circular) de raio maior a e raio menor b. Vamos usar o método dos anéis (discos com furo) para computar esse volume.

Passo 2

Para cada coordenada y entre -b e b, a seção transversal do disco em y é o intervalo
xin l[a - raizb^2-y^2,;a + raizb^2-y^2r]
Ao girar em torno do eixo y, esse intervalo gera um anel de raio externo
Ro(y) = a + raizb^2-y^2
e raio interno
Ri(y) = a - raizb^2-y^2
A área desse anel vale
A(y) = pil[Ro(y)^2 - Ri(y)^2r] = pil[(a+raizb^2-y^2)^2 - (a-raizb^2-y^2)^2r]
Expandindo, observa-se que os termos em a^2 e (b^2-y^2) se cancelam, restando
A(y) = pil[4a,raizb^2-y^2r] = 4pi,a,raizb^2-y^2

Passo 3

O volume é a integral da área dos anéis de y=-b a y=b:
V = integraly=-b^b A(y),dy = 4pi,a integral-b^b raizb^2-y^2,dy
Mas
integral-b^b raizb^2-y^2,dy
é a área de meia circunferência de raio b, i.e.
integral-b^b raizb^2-y^2,dy = tfracpi,b^22

Passo 4

Substituindo esse valor na integral, obtemos
V = 4pi,a times pi,b^22 = 2pi^2,a,b^2

Resposta

V = 2pi^2,a,b^2

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