8.5M Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do disco delimitado pela circunferência
.
Utilize essa fórmula nos exercícios 8.5 M a 8.5 P .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
o disco definido por
Isso gera um toro (anel circular) de raio maior
e raio menor
. Vamos usar o método dos anéis (discos com furo) para computar esse volume.
Passo 2
Para cada coordenada
entre
e
, a seção transversal do disco em
é o intervalo
Ao girar em torno do eixo
, esse intervalo gera um anel de raio externo
e raio interno
A área desse anel vale
Expandindo, observa-se que os termos em
e
se cancelam, restando
Passo 3
O volume é a integral da área dos anéis de
a
:
Mas
é a área de meia circunferência de raio
, i.e.
Passo 4
Substituindo esse valor na integral, obtemos