8 Calcule
. C é o triângulo de vértices
e
orientado no sentido negativo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o triângulo de vértices
,
e
orientado no sentido negativo (horário). O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha a uma integral dupla sobre a região
interna ao caminho.
Passo 2
Identificamos
Para aplicar Green, calculamos as derivadas parciais
Então
Passo 3
Como
está orientado no sentido negativo (horário), a versão do Teorema de Green é
Substituindo o integrando,
Passo 4
Descri-mos
no plano
como
pois a hipotenusa do tri^angulo vai de
a
dada por
. Logo
Passo 5
Calculando a integral em
: