8 Calcule integralC 2 x y d x+raiz1+y^4 d y. C é o triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (3,1) orientado no sentido negativo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointC2xy,dx+raiz1+y^4,dy
onde C é o triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (3,1) orientado no sentido negativo (horário). O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha a uma integral dupla sobre a região D interna ao caminho.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=2xy, Q(x,y)=raiz1+y^4
Para aplicar Green, calculamos as derivadas parciais
partial Qpartial x=0, partial Ppartial y=2x
Então
partial Qpartial x-partial Ppartial y =0-2x=-2x

Passo 3

Como C está orientado no sentido negativo (horário), a versão do Teorema de Green é
ointCP,dx+Q,dy =-integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Substituindo o integrando,
ointC2xy,dx+raiz1+y^4,dy =-integral duplaD(-2x),dA =integral duplaD2x,dA

Passo 4

Descri-mos D no plano (x,y) como
0 <= y <= 1, 0 <= x <= 3y
pois a hipotenusa do tri^angulo vai de (0,0) a (3,1) dada por x=3y. Logo
integral duplaD 2x , dA = integraly=0^1 integralx=0^3y 2x , dx , dy = integral0^1 l[ x^2 r]0^3y , dy = integral0^1 9y^2 , dy

Passo 5

Calculando a integral em y:
integral0^19y^2,dy =9cdot1^33 =3

Resposta

3

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