Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
Considere também as seguintes condições de contorno:
(I)
(II)
(III)
.
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A)
(B)
Determine a solução
do problema com:
CC : III e CI: B
(I)
(II)
(III)
(A)
(B)
CC : III e CI: B
Passo 1
O enunciado dá a equação do calor
com condições de contorno de Neumann homogêneas (CC III)
e condição inicial (CI B)
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e expandir a condição inicial em série de Fourier–cossenos.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
. Substituindo na PDE:
e dividindo por
obtém-se
onde
é constante de separação. Assim surgem os ODEs
com
.
Passo 3
O problema de Autovalores para
é
onde
. As soluções são
Logo
e
Passo 4
A solução geral que satisfaz as CC é
Os coeficientes
vêm da expansão de
na base
:
Pela ortogonalidade,
Passo 5
Calculando
Para
, integramos por partes:
logo
Note que
se
é par e
se
é ímpar. Para
:
Passo 6
Substituindo em
e restringindo a índices ímpares
, obtemos