Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
100 ux x=ut, 0<x<1, t>0
Considere também as seguintes condições de contorno:
(I) lu(0, t)=0 u(1, t)=0
(II) lu(0, t)=50 u(1, t)=80
(III) lux(0, t)=0 ux(1, t)=0.
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A) u(x, 0)=10
(B) u(x, 0)=x
Determine a solução u(x, t) do problema com:
CC : III e CI: B

Passo 1

O enunciado dá a equação do calor
100,uxx=ut, 0<x<1,;t>0,
com condições de contorno de Neumann homogêneas (CC III)
;ux(0,t)=0, ux(1,t)=0
e condição inicial (CI B)
;u(x,0)=x
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e expandir a condição inicial em série de Fourier–cossenos.

Passo 2

Assumimos solução do tipo u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na PDE:
100,X''(x),T(t)=X(x),T'(t)
e dividindo por X,T obtém-se
T'T=100,X''X=-lambda,
onde lambda é constante de separação. Assim surgem os ODEs
X''+lambda100,X=0, T'+lambda,T=0
com X'(0)=X'(1)=0.

Passo 3

O problema de Autovalores para X é
X''+mu^2X=0, X'(0)=X'(1)=0,
onde mu^2=lambda/100. As soluções são
mun=npi,;n=0,1,2,dots, Xn(x)=cos(npi x),
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lambdan=100,mun^2=100,n^2pi^2,
e
Tn(t)=e^-lambdant =e^-100,n^2pi^2t

Passo 4

A solução geral que satisfaz as CC é
u(x,t)=A0+sumn=1^inftyAn,e^-100,n^2pi^2tcos(npi x)
Os coeficientes An vêm da expansão de u(x,0)=x na base cos(npi x):
x=A0+sumn=1^inftyAncos(npi x)
Pela ortogonalidade,
A0=integral0^1x,dx, An=2integral0^1xcos(npi x),dx;(n>=1)

Passo 5

Calculando
A0=integral0^1x,dx=tfrac12
Para An, integramos por partes:
integral0^1xcos(npi x),dx =-1-(-1)^nn^2pi^2,
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An =2gl(-1-(-1)^nn^2pi^2gr) =-2l(1-(-1)^nr)n^2pi^2
Note que 1-(-1)^n=0 se n é par e 2 se n é ímpar. Para n=2k+1:
A2k+1=-4(2k+1)^2pi^2, A2k=0

Passo 6

Substituindo em u(x,t) e restringindo a índices ímpares n=2k+1, obtemos
u(x,t) =12 -4pi^2 sumk=0^infty 1(2k+1)^2 e^-100,(2k+1)^2pi^2t cosl((2k+1)pi xr)

Resposta

boxed u(x,t) =12 -4pi^2 sumk=0^infty 1(2k+1)^2 expl(-100,(2k+1)^2pi^2tr) cosl((2k+1)pi xr)

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