Calcule
onde
é a fronteira da regiāo do plano limitada pelas curvas
e
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
e
, ao longo de
, fronteira da região limitada pelas curvas
e
, orientada anti-horário. O conteúdo é Teorema de Green e integração dupla.
Passo 2
Para resolver, usamos o Teorema de Green, que diz:
Calculamos as derivadas parciais: em primeiro lugar
e
.
Logo
e
Logo
Passo 3
Para montar a integral dupla, achamos que as curvas se intersectam em
.
Então e, para cada
,
varia de
até
. Assim
Então
Passo 4
Integral em
:
Logo a integral vira
Resposta
-8/15