Calcule
integralC(x^2 y-cos x+x y^2) d x+(x^2 y+sen y) d y
onde C é a fronteira da regiāo do plano limitada pelas curvas y=x^2+x e y=-x^2+x+2, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC P,dx + Q,dy, onde P(x,y)=x^2y-cos x+xy^2 e Q(x,y)=x^2y+sin y, ao longo de C, fronteira da região limitada pelas curvas y=x^2+x e y=-x^2+x+2, orientada anti-horário. O conteúdo é Teorema de Green e integração dupla.

Passo 2

Para resolver, usamos o Teorema de Green, que diz:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas parciais: em primeiro lugar
partial Qpartial x=partial (x^2y+sin y)partial x=2xy
e
partial Ppartial y=partial (x^2y-cos x+xy^2)partial y=x^2+2xy.
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y=2xy-(x^2+2xy)=-x^2

Passo 3

Para montar a integral dupla, achamos que as curvas se intersectam em
x^2+x=-x^2+x+2 Rightarrow 2x^2=2 Rightarrow x=pm1.
Então xin[-1,1] e, para cada x, y varia de y1=x^2+x até y2=-x^2+x+2. Assim
integral duplaD(-x^2),dA=integral-1^1integralx^2+x^-x^2+x+2(-x^2),dy,dx

Passo 4

Integral em y:
integralx^2+x^-x^2+x+2(-x^2),dy =(-x^2)l[(-x^2+x+2)-(x^2+x)r]=(-x^2)(-2x^2+2)=2x^4-2x^2
Logo a integral vira
integral-1^1(2x^4-2x^2),dx =2integral0^1(2x^4-2x^2),dx=2l(25-23r)=-815

Resposta

-8/15

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