Calcule , onde é o segmento de reta que une entre si os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral , onde é a reta que vai do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais ao longo de curvas, além de um pouco de geometria para parametrizar a reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva . A expressão é a função que estamos integrando ao longo dessa curva. Então, essencialmente, estamos somando valores dessa função em cada pedacinho da reta de a .
Passo 3
Para calcular a integral, precisamos parametrizar a reta . Como é a linha reta que vai de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para descrever todos os pontos dessa reta. A parametrização fica assim:
Aqui, quando , estamos no ponto , e quando , chegamos em .
Passo 4
Agora, precisamos calcular , que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Substituindo e na função dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos simplificar a integral. Podemos fatorar o como uma constante fora da integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então , ou seja, .
Passo 7
Substituindo na integral:
Agora, temos uma integral padrão que sabemos como resolver.
Passo 8
A integral , onde é a constante de integração. Aplicando isso: