Calcule integralC d sraizx^2+y^2+4, onde C é o segmento de reta que une entre si os pontos O(0,0) e A(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral integralC d sraizx^2+y^2+4, onde C é a reta que vai do ponto O(0,0) até o ponto A(1,2). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais ao longo de curvas, além de um pouco de geometria para parametrizar a reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A ds representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva C. A expressão 1raizx^2+y^2+4 é a função que estamos integrando ao longo dessa curva. Então, essencialmente, estamos somando valores dessa função em cada pedacinho da reta de O a A.

Passo 3

Para calcular a integral, precisamos parametrizar a reta C. Como C é a linha reta que vai de O(0,0) a A(1,2), podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1 para descrever todos os pontos dessa reta. A parametrização fica assim:
x = t
y = 2t
Aqui, quando t=0, estamos no ponto O(0,0), e quando t=1, chegamos em A(1,2).

Passo 4

Agora, precisamos calcular ds, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, usamos a fórmula:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Calculando as derivadas:
dxdt = 1
dydt = 2
Então:
ds = raiz1^2 + 2^2 , dt = raiz1 + 4 , dt = raiz5 , dt

Passo 5

Substituindo x e y na função dentro da integral:
raizx^2+y^2+4 = raizt^2 + (2t)^2 + 4 = raizt^2 + 4t^2 + 4 = raiz5t^2 + 4
Então, a integral fica:
integral0^1 raiz5 , dtraiz5t^2 + 4

Passo 6

Vamos simplificar a integral. Podemos fatorar o raiz5 como uma constante fora da integral:
raiz5 integral0^1 dtraiz5t^2 + 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar u = t raiz5, então du = raiz5 , dt, ou seja, dt = duraiz5.

Passo 7

Substituindo na integral:
raiz5 integral0^raiz5 duraiz5raizu^2 + 4 = integral0^raiz5 duraizu^2 + 4
Agora, temos uma integral padrão que sabemos como resolver.

Passo 8

A integral integral duraizu^2 + a^2 = ln(u + raizu^2 + a^2) + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
integral0^raiz5 duraizu^2 + 4 = ln(u + raizu^2 + 4) |0^raiz5

Passo 9

Calculando nos limites:
ln(raiz5 + raiz(raiz5)^2 + 4) - ln(0 + raiz0 + 4) = ln(raiz5 + raiz5 + 4) - ln(2)
Simplificando:
ln(raiz5 + 3) - ln(2) = ln(raiz5 + 32)

Resposta

O valor da integral é ln(dfracraiz5 + 32).

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