Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime-2x y=23 x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
y' - 2x y = 23 x^4
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é ótimo para equações lineares desse tipo. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar a teoria para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
y' + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
y' - 2x y = 23 x^4
Vemos que:
P(x) = -2x e Q(x) = 23 x^4

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral -2x dx = e^-2 ln|x|
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
mu(x) = e^ln|x|^-2 = |x|^-2
Como x está no denominador original, assumimos que x > 0, então podemos escrever:
mu(x) = x^-2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
x^-2 y' - 2x x^-2 y = 23 x^4 x^-2
Simplificando:
x^-2 y' - 2 x^-3 y = 23 x^2

Passo 5

A ideia do fator integrante é transformar a equação em uma forma onde o lado esquerdo seja a derivada de um produto. Assim, podemos escrever:
ddx (x^-2 y) = 23 x^2

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx (x^-2 y) dx = integral 23 x^2 dx
Isso resulta em:
x^-2 y = 23 cdot x^33 + C
x^-2 y = 29 x^3 + C

Passo 7

Finalmente, resolvemos para y multiplicando ambos os lados por x^2:
y = x^2 ( 29 x^3 + C )
y = 29 x^5 + C x^2

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = 29 x^5 + C x^2

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