Calcule integralC y^2 d s, onde C é o primeiro arco da cicloide x=a(t-sen t), y= a(1-cos t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede pra calcular a integral integralC y^2 , ds.
O que isso significa?
  • Integral de linha: Estamos somando valores ao longo de uma curva C.
  • y^2: A função que estamos integrando é o quadrado da coordenada y dos pontos na curva.
  • ds: Representa um pequeno pedaço do comprimento da curva.
Sobre a curva C:
  • Ela é o primeiro arco da cicloide, que é uma curva gerada pela trajetória de um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar.
  • A parametrização da cicloide é dada por: x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t) onde a é um parâmetro que define o tamanho da cicloide, e t é o parâmetro que varia para traçar a curva.
O que precisamos para resolver:
  1. Entender como parametrizar o comprimento da curva ( ds) em termos de t.
  2. Expressar y^2 também em termos de t.
  3. Integrar a função resultante sobre o intervalo apropriado de t que corresponde ao primeiro arco da cicloide.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o diferencial de comprimento ( ds) para uma curva parametrizada.
Quando temos uma curva definida por x = x(t) e y = y(t), o ds é dado por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Ou seja, precisamos calcular as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 3

Vamos calcular dxdt e dydt.
Dada a parametrização:
x = a(t - sin t)
y = a(1 - cos t)
Calculando as derivadas:
dxdt = a(1 - cos t)
dydt = a sin t

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do ds:
ds = raiz(a(1 - cos t))^2 + (a sin t)^2 , dt
Vamos simplificar dentro da raiz:
ds = raiza^2(1 - cos t)^2 + a^2 sin^2 t , dt
ds = a raiz(1 - cos t)^2 + sin^2 t , dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(1 - cos t)^2 + sin^2 t = 1 - 2cos t + cos^2 t + sin^2 t
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1, então:
1 - 2cos t + 1 = 2 - 2cos t = 2(1 - cos t)
Então, o ds vira:
ds = a raiz2(1 - cos t) , dt

Passo 6

A integral que queremos calcular é:
integralC y^2 , ds
Vamos expressar tudo em termos de t:
y = a(1 - cos t) implies y^2 = a^2(1 - cos t)^2
Já temos ds = a raiz2(1 - cos t) , dt
Então, a integral fica:
integral y^2 , ds = integral a^2(1 - cos t)^2 cdot a raiz2(1 - cos t) , dt = a^3 raiz2 integral (1 - cos t)^2.5 , dt

Passo 7

Precisamos determinar os limites de integração para t. Como estamos lidando com o primeiro arco da cicloide, geralmente isso corresponde a t variando de 0 a 2pi.
Então, nossa integral fica:
a^3 raiz2 integral0^2pi (1 - cos t)^2.5 , dt

Passo 8

Essa integral pode parecer complicada, mas vamos simplificar usando uma substituição trigonométrica. Vamos usar a identidade:
1 - cos t = 2 sin^2(t2)
Substituindo na integral:
a^3 raiz2 integral0^2pi (2 sin^2(t2))^2.5 , dt = a^3 raiz2 cdot 2^2.5 integral0^2pi sin^5 (t2) , dt
Calculando 2^2.5:
2^2.5 = 2^2 cdot 2^0.5 = 4 cdot raiz2 = 4raiz2
Então, a integral fica:
a^3 raiz2 cdot 4raiz2 integral0^2pi sin^5 (t2) , dt = 4 cdot 2 cdot a^3 integral0^2pi sin^5 (t2) , dt = 8 a^3 integral0^2pi sin^5 (t2) , dt

Passo 9

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral:
u = t2 implies du = 12 dt implies dt = 2 du
Quando t = 0, u = 0; quando t = 2pi, u = pi.
Substituindo na integral:
8 a^3 integral0^pi sin^5 u cdot 2 , du = 16 a^3 integral0^pi sin^5 u , du

Passo 10

Agora, precisamos calcular integral0^pi sin^5 u , du. Sabemos que para funções de potência ímpar de seno, podemos usar a identidade:
sin^n u = sin^n-1 u cdot sin u
e usar uma substituição com a identidade cos^2 u = 1 - sin^2 u.
Para n = 5:
integral sin^5 u , du = integral sin^4 u cdot sin u , du = integral (sin^2 u)^2 cdot sin u , du
Usando sin^2 u = 1 - cos^2 u:
integral (1 - cos^2 u)^2 cdot sin u , du
Fazendo a substituição v = cos u, dv = -sin u , du:
- integral (1 - v^2)^2 , dv = - [ v - 23 v^3 + 15 v^5 ] + C
Voltando para u:
- [ cos u - 23 cos^3 u + 15 cos^5 u ] + C
Aplicando os limites de 0 a pi:
- [ (cos pi - 23 cos^3 pi + 15 cos^5 pi) - (cos 0 - 23 cos^3 0 + 15 cos^5 0) ]
Como cos pi = -1 e cos 0 = 1:
- [ (-1 - 23 (-1)^3 + 15 (-1)^5) - (1 - 23 (1)^3 + 15 (1)^5) ] = - [ (-1 + 23 - 15) - (1 - 23 + 15) ]
Simplificando:
- [ (-1 + 23 - 15) - (1 - 23 + 15) ] = - [ -1 + 23 - 15 -1 + 23 - 15 ] = - [ -2 + 43 - 25 ]
= 2 - 43 + 25 = 3015 - 2015 + 615 = 1615

Passo 11

Voltando à nossa integral original:
16 a^3 integral0^pi sin^5 u , du = 16 a^3 cdot 1615 = 25615 a^3

Resposta

Portanto, o valor da integral integralC y^2 , ds é 25615, a^3.

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