Calcule
, onde
é o primeiro arco da cicloide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede pra calcular a integral
.
O que isso significa?
- Integral de linha: Estamos somando valores ao longo de uma curva
. -
: A função que estamos integrando é o quadrado da coordenada dos pontos na curva. -
: Representa um pequeno pedaço do comprimento da curva.
Sobre a curva
:
- Ela é o primeiro arco da cicloide, que é uma curva gerada pela trajetória de um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar.
- A parametrização da cicloide é dada por:
onde é um parâmetro que define o tamanho da cicloide, e é o parâmetro que varia para traçar a curva.
O que precisamos para resolver:
- Entender como parametrizar o comprimento da curva (
) em termos de . - Expressar
também em termos de . - Integrar a função resultante sobre o intervalo apropriado de
que corresponde ao primeiro arco da cicloide.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o diferencial de comprimento (
) para uma curva parametrizada.
Quando temos uma curva definida por
e
, o
é dado por:
Ou seja, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
e
.
Dada a parametrização:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do
:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Então, o
vira:
Passo 6
A integral que queremos calcular é:
Vamos expressar tudo em termos de
:
Já temos
Então, a integral fica:
Passo 7
Precisamos determinar os limites de integração para
. Como estamos lidando com o primeiro arco da cicloide, geralmente isso corresponde a
variando de
a
.
Então, nossa integral fica:
Passo 8
Essa integral pode parecer complicada, mas vamos simplificar usando uma substituição trigonométrica. Vamos usar a identidade:
Substituindo na integral:
Calculando
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral:
Quando
,
; quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 10
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que para funções de potência ímpar de seno, podemos usar a identidade:
e usar uma substituição com a identidade
.
Para
:
Usando
:
Fazendo a substituição
,
:
Voltando para
:
Aplicando os limites de
a
:
Como
e
:
Simplificando:
Passo 11
Voltando à nossa integral original:
Resposta
Portanto, o valor da integral
é
.