Mostre que toda equação diferencial ordinária separável é também exata.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que qualquer equação diferencial ordinária separável também satisfaz a condição de exatidão. O conteúdo envolve duas definições: (i) equação separável, que pode ser escrita na forma
; e (ii) equação exata, que na forma
requer
. Vamos usar essas definições para fazer a conexão.
Passo 2
Começamos pela forma geral de uma equação separável:
Passo 3
Reescrevendo no formato
, obtemos
Passo 4
Aqui podemos identificar
Passo 5
Agora aplicamos a condição de exatidão: calculamos as derivadas parciais
Passo 6
Como ambas as derivadas parciais são iguais (ambas valem zero), segue que
Resposta
Portanto, qualquer equação diferencial separável pode ser escrita como
com
, mostrando que ela é exata.