Mostre que toda equação diferencial ordinária separável é também exata.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer equação diferencial ordinária separável também satisfaz a condição de exatidão. O conteúdo envolve duas definições: (i) equação separável, que pode ser escrita na forma f(y),dy = g(x),dx; e (ii) equação exata, que na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 requer partial M/partial y = partial N/partial x. Vamos usar essas definições para fazer a conexão.

Passo 2

Começamos pela forma geral de uma equação separável:
f(y),dy = g(x),dx

Passo 3

Reescrevendo no formato M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, obtemos
g(x),dx - f(y),dy = 0

Passo 4

Aqui podemos identificar
M(x,y) = g(x), N(x,y) = -f(y)

Passo 5

Agora aplicamos a condição de exatidão: calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = ddyl(g(x)r) = 0,
partial Npartial x = ddxl(-f(y)r) = 0

Passo 6

Como ambas as derivadas parciais são iguais (ambas valem zero), segue que
partial Mpartial y = partial Npartial x

Resposta

Portanto, qualquer equação diferencial separável pode ser escrita como M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 com partial M/partial y=partial N/partial x, mostrando que ela é exata.

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