Calcule integralC F cdot d gamma, em que F(x, y)=(x y, y^2-x^2) C=C1 cup C2, em que C1 é o segmento de reta que liga os pontos (1,2) e (3,4) e C2 é o arco da parábola y=x^2-5 que tem como extremos os pontos (3,4) e (-1,-4).

Passo 1

Estamos calculando a integral de linha de um campo vetorial vec F(x,y)=(xy,,y^2-x^2) ao longo da curva C=C1cup C2, onde C1 é o segmento de reta de (1,2) a (3,4) e C2 é o arco da parábola y=x^2-5 de (3,4) a (-1,-4). O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos usar a parametrização de cada trecho para calcular integralC P,dx+Q,dy.

Passo 2

Parametrizamos C1 por x=1+2t, y=2+2t, com tin[0,1]. Então dx=2,dt e dy=2,dt. Calculamos
P=xy=(1+2t)(2+2t)=2+6t+4t^2,
Q=y^2-x^2=(2+2t)^2-(1+2t)^2=3+4t.
O integrando fica
P,dx+Q,dy=(2+6t+4t^2)cdot2+(3+4t)cdot2=10+20t+8t^2
Logo
integralC1vec Fcdot dgamma=integral0^1(10+20t+8t^2),dt=l[10t+10t^2+tfrac83t^3r]0^1=20+tfrac83=tfrac683

Passo 3

Para C2 usamos x=t, y=t^2-5, com t variando de 3 a -1 (pois vai de (3,4) a (-1,-4)). Então dx=dt e dy=2t,dt. Calculamos
P=xy=t(t^2-5)=t^3-5t,
Q=y^2-x^2=(t^2-5)^2-t^2=t^4-11t^2+25.
O integrando é
P,dx+Q,dy=(t^3-5t)+ (t^4-11t^2+25)cdot2t=2t^5-21t^3+45t
Logo
integralC2vec Fcdot dgamma=integral3^-1(2t^5-21t^3+45t),dt=l[tfrac13t^6-tfrac214t^4+tfrac452t^2r]3^-1=-tfrac83

Passo 4

Somando os dois resultados obtemos
integralCvec Fcdot dgamma=tfrac683-tfrac83=tfrac603=20

Resposta

20

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