Calcule integralC F cdot d r em que o campo vetorial é F=x i+2 y j e a curva C é dada pela equação vetorial r(t)=3 cos (t) i+3 sen(t) j, 0 <= t <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC vec Fcdot dvec r, onde vec F=x,vec i+2y,vec j e a curva C é dada por vec r(t)=3cos t,vec i+3sin t,vec j, 0<= t<=pi/2. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial, e vamos usar a definição integralC vec Fcdot dvec r=integrala^b vec F(vec r(t))cdot vec r,'(t),dt.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada do vetor posição e substituímos na expressão do campo:
vec r,'(t)=ddt[3cos t,,3sin t]=(-3sin t),vec i+(3cos t),vec j
vec F(vec r(t))=[x,2y](x,y)=(3cos t,3sin t)=(3cos t),vec i+(6sin t),vec j

Passo 3

Em seguida, fazemos o produto escalar
vec F(vec r(t))cdot vec r,'(t)=(3cos t)(-3sin t)+(6sin t)(3cos t)=-9cos tsin t+18sin tcos t=9sin tcos t

Passo 4

Agora calculamos a integral em t:
integral0^pi/29sin tcos t,dt=9integral0^pi/2sin tcos t,dt

Passo 5

Usando integralsin tcos t,dt=tfrac12sin^2 t,
9integral0^pi/2sin tcos t,dt=9l[tfrac12sin^2 tr]0^pi/2=92(1-0)=92

Resposta

92

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