Sejam as funções vetoriais f(t)=sen(t) i-j+k e g(t)=t i+3 j+t^2 k. Calcule (f times g)^prime(0).

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais vec f(t)=sin(t),vec i-vec j+vec k e vec g(t)=t,vec i+3,vec j+t^2,vec k e pede (vec ftimesvec g)'(0). O conteúdo aqui é derivada de produto vetorial, e vamos precisar usar a regra
(vec ftimesvec g)'=vec f'timesvec g+vec ftimesvec g'

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de vec f e vec g. Temos:
vec f'(t)=ddtl(sin(t),vec i-vec j+vec kr)=cos(t),vec i+0,vec j+0,vec k=cos(t),vec i,
vec g'(t)=ddtl(t,vec i+3,vec j+t^2,vec kr)=1,vec i+0,vec j+2t,vec k=vec i+2t,vec k

Passo 3

Aplicamos a regra do produto vetorial:
(vec ftimesvec g)'(t)=vec f'(t)timesvec g(t)+vec f(t)timesvec g'(t)

Passo 4

Agora avaliamos em t=0. Primeiro
vec f'(0)=1,vec i, vec g(0)=0,vec i+3,vec j+0,vec k=3,vec j;
vec f(0)=0,vec i-vec j+vec k=-vec j+vec k, vec g'(0)=vec i+0,vec k=vec i
Calculamos os dois produtos vetoriais:
vec f'(0)timesvec g(0)=(vec i)times(3,vec j)=3,vec k,
vec f(0)timesvec g'(0)=(-vec j+vec k)timesvec i =(-vec j)timesvec i+vec ktimesvec i =vec j+vec k =vec j+vec k
Somando:
3,vec k+(vec j+vec k)=vec j+4,vec k

Resposta

vec j+4,vec k

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