Calcule integralC F cdot d r=integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma^prime(t) d t, onde F: C subset R^n longrightarrow R^n (função vetorial) e C uma curva, definida pela função sigma:[a, b] longrightarrow R^n.
F(x, y)=(x y,-y) e C é formado pela reta que ligando A(-3,-3) a B(-1,1) e pelo arco da parábola y=x^2 de B(-1,1) a C(2,4).

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot d r
onde F(x,y)=(xy,-y) e C é composta por duas partes:
  1. o segmento de reta ligando A(-3,-3) a B(-1,1),
  2. o arco da parábola y=x^2 de B(-1,1) a C(2,4).
    O conteúdo principal é integrar um campo vetorial usando parametrizações das curvas.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta AB. Seja
sigma1(t)=(-3,-3)+tl((-1,1)-(-3,-3)r)=(-3+2t,,-3+4t), tin[0,1]
Então
sigma1'(t)=(2,4)

Passo 3

Em sigma1(t) o campo é
F(sigma1(t))=l(xy,,-yr) =l((-3+2t)(-3+4t),,-(-3+4t)r) =l(9-20t+8t^2,;3-4tr)
O produto escalar é
F(sigma1(t))cdotsigma1'(t) =2(9-20t+8t^2)+4(3-4t) =30-56t+16t^2
Logo a integral em AB é
integral0^1l(30-56t+16t^2r),dt =l[30t-28t^2+tfrac163t^3r]0^1 =30-28+tfrac163 =tfrac223

Passo 4

Parametrizamos o arco de parábola BC. Seja
sigma2(t)=(t,t^2), tin[-1,2],
pois em t=-1 temos (-1,1) e em t=2 temos (2,4).
Então
sigma2'(t)=(1,2t)

Passo 5

Em sigma2(t) o campo é
F(sigma2(t))=(tcdot t^2,,-t^2)=(t^3,-t^2),
e o produto escalar com sigma2'(t)
t^3cdot1+(-t^2)cdot2t =t^3-2t^3=-t^3
A integral em BC é
integral-1^2(-t^3),dt =-l[tfract^44r]-1^2 =-!l(tfrac16-14r) =-tfrac154

Passo 6

Somamos as contribuições de AB e BC:
integralCFcdot dr =tfrac223+l(-tfrac154r) =tfrac88-4512 =tfrac4312

Resposta

4312

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